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1、1 单元质检七 立体几何(B)单元质检七 立体几何(B) (时间:45 分钟 满分:100 分) 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 7 分,共 42 分) 1 1.若圆锥的表面积是底面积的 3 倍,则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( ) A.B. 2 3 5 6 C.D. 7 6 2 2.如图,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC,E为BC的中点,则等于( )AEBC A.3 B.2 C.1D.0 3 3.在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AEEB=AFFD=14.又H,G分别为BC,CD 的中点,则( ) A.BD平面EFG,且四边形EF
2、GH是平行四边形 B.EF平面BCD,且四边形EFGH是梯形 C.HG平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形 D.EH平面ADC,且四边形EFGH是梯形 4 4.如图,已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为 3,BAD=60,长为 2 的线段MN的一个 端点M在DD1上运动,另一个端点N在底面ABCD上运动,则MN的中点P的轨迹(曲面)与共顶点D的 三个面所围成的几何体的体积为( ) A.B. 2 9 4 9 C.D. 2 3 4 3 2 5 5. (2018 上海,15)九章算术中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA1 是正六棱柱的一条侧棱,如图.若阳
3、马以该正六棱柱的顶点为顶点,以AA1为底面矩形的一边,则这样 的阳马的个数是( ) A.4B.8 C.12D.16 6 6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,平面过直线BD,平面AB1C,平面AB1C=m,平面过直线 A1C1,平面AB1C,平面ADD1A1=n,则m,n所成角的余弦值为( ) A.0B.C.D. 1 2 2 2 3 2 二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 7 分,共 14 分) 7 7.在菱形ABCD中,AB=2,BCD=60,现将其沿对角线BD折成直二面角A-BD-C(如图),则异面直线 AB与CD所成的角的余弦值为 . 8 8.已知球O的球面上有四点S,A,B,C
4、,其中O,A,B,C四点共面,ABC是边长为 2 的正三角形,平面 SAB平面ABC,则三棱锥S-ABC的体积的最大值为 . 三、解答题(本大题共 3 小题,共 44 分) 9 9. (14 分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点. (1)证明:PB平面AEC; (2)设二面角D-AE-C为 60,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.3 3 1010.(15 分) 如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB平面BEC,BEEC, AB=BE=EC=2,G,F 分别是线段BE,DC的中点. (1)求证:GF平面ADE; (2)求
5、平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值. 1111.(15 分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ADBC,ADCD,且AD=CD=, BC=222 ,PA=2. (1)取PC的中点N,求证:DN平面PAB; (2)求直线AC与PD所成角的余弦值; (3)在线段PD上是否存在一点M,使得二面角M-AC-D的大小为 45?如果存在,求BM与平面MAC所 成的角;如果不存在,请说明理由. 4 单元质检七 立体几何(B) 1 1.C 解析设圆锥的底面半径为r,母线长为l,侧面展开图扇形的圆心角为, 根据条件得 rl+r2=3r2,即l=2r, 根据扇形面积公式得=rl, l2 2
6、 即=,故选 C. r2 l = r2 2r 2 2.D 解析=()()=0.AEBCAD + DEBC = ADBC + DEBC = ADBD + DCADBD + ADDC 3 3.B 解析如图,由题意,得EFBD,且EF= BD, 1 5 HGBD,且HG= BD, 1 2 故EFHG,且EFHG. 因此,四边形EFGH是梯形. 由题可得EF平面BCD,而EH与平面ADC不平行,故选 B. 4 4.A 解析MN=2,则DP=1,则点P的轨迹为以D为球心,半径r=1 的球面的一部分,则球的体积为V= 4 3 r3=. 4 3 BAD=60, ADC=120,120为 360的 ,只取半球
7、的 , 1 3 1 3 则V=. 4 3 1 3 1 2 = 2 9 5 5.D 解析设正六棱柱为ABCDEF-A1B1C1D1E1F1, 以侧面AA1B1B,AA1F1F为底面矩形的阳马有 E-AA1B1B,E1-AA1B1B,D-AA1B1B,D1-AA1B1B,C-AA1F1F,C1-AA1F1F,D-AA1F1F,D1-AA1F1F, 共 8 个; 以对角面AA1C1C,AA1E1E为底面矩形的阳马有F-AA1C1C,F1-AA1C1C,D-AA1C1C,D1-AA1C1C,B-AA1E1E,B1- AA1E1E,D-AA1E1E,D1-AA1E1E, 5 共 8 个. 所以共有 8+
8、8=16(个),故选 D. 6 6.D 解析如图所示,BD1平面AB1C,平面过直线BD,平面AB1C, 平面即为平面DBB1D1. 设ACBD=O. 平面AB1C=OB1=m. 平面A1C1D过直线A1C1,与平面AB1C平行,而平面过直线A1C1,平面AB1C, 平面A1C1D即为平面.平面ADD1A1=A1D=n, 又A1DB1C, m,n所成角为OB1C, 由AB1C为正三角形,则 cosOB1C=cos.故选 D. 6 = 3 2 7 7. 解析如图,取BD的中点O,连接AO,CO,建立如图所示的空间直角坐标系, 1 4 AB=2,BCD=60, A(0,0,),B(1,0,0),D
9、(-1,0,0),C(0,0),33 =(1,0,-),=(-1,-,0),AB3CD3 cos0), 7 则C(m,0),=(m,0).3AC3 设 n n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量, 则n1AC = 0, n1AE = 0, 即 mx +3y = 0, 3 2 y + 1 2z = 0, 可取 n n1=.( 3 m , - 1,3) 由题意得 n n2=(1,0,0)为平面DAE的一个法向量. 由题设|cos|=, 1 2 即,解得m= . 3 3 + 4m2 = 1 2 3 2 因为E为PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为. 1 2 三棱锥E-ACD的体积V=. 1 3
10、1 2 3 3 2 1 2 = 3 8 1010.(1)证法一如图,取AE的中点H,连接HG,HD. 因为G是BE的中点, 所以GHAB,且GH= AB. 1 2 又因为F是CD的中点, 所以DF= CD. 1 2 由四边形ABCD是矩形,得ABCD,AB=CD, 所以GHDF,且GH=DF, 从而四边形HGFD是平行四边形, 所以GFDH. 又因为DH平面ADE,GF平面ADE, 所以GF平面ADE. 8 证法二如图,取AB中点M,连接MG,MF. 因为G是BE的中点,所以GMAE. 又因为AE平面ADE,GM平面ADE, 所以GM平面ADE. 在矩形ABCD中,由M,F分别是AB,CD的中
11、点,得MFAD. 又因为AD平面ADE,MF平面ADE, 所以MF平面ADE. 又因为GMMF=M,GM平面GMF,MF平面GMF, 所以平面GMF平面ADE. 因为GF平面GMF, 所以GF平面ADE. (2)解如图,在平面BEC内,过B点作BQEC. 因为BECE,所以BQBE. 又因为AB平面BEC, 所以ABBE,ABBQ. 以B为原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则BE,BQ,BA A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1). 因为AB平面BEC, 所以=(0,0,2)为平面BEC的一个法向量.BA 9 设 n n=(x,y,
12、z)为平面AEF的法向量, 由题意,得=(2,0,-2),=(2,2,-1).AEAF 由nAE = 0, nAF = 0, 得 2x - 2z = 0, 2x + 2y - z = 0, 取z=2,得 n n=(2,-1,2). 从而 cos=.BA nBA |n|BA| = 4 3 2 = 2 3 所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为. 2 3 1111.解建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,-1,0),B(2,-1,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),P(0,-1,2). (1)证明:PC中点N(0,0,1),=(1,0,1).DN 设平面PAB的法向量为 n
13、n=(x,y,z),由=(0,0,2),=(2,0,0),APAB 可得 n n=(0,1,0). n n=0,DN平面PAB,DN DN平面PAB. (2)设AC与PD所成的角为. =(0,2,0),=(-1,1,-2),ACPD cos=.| 2 2 6| = 6 6 (3)设M(x,y,z)及=,PMPD 则M(-,-1,2(1-). x =- , y + 1 = , z - 2 =- 2 设平面ACM的法向量为 m m=(x,y,z), 10 由=(0,2,0),=(-,2(1-),可得 m m=(2-2,0,),ACAM 平面ACD的法向量为 a a=(0,0,1), cos=, 12+ (2 - 2)2 = 2 2 2 52- 8 + 4 解得=或=2(舍去). 2 3 M,(- 2 3, - 1 3, 2 3) ,m m=.BM =(- 8 3, 2 3, 2 3) ( 2 3,0, 2 3) 设BM与平面MAC所成的角为, 则 sin=|cos|=,BM | - 12 9 22 3 22| = 1 2 = . 6