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1、1 单元质检八 解析几何单元质检八 解析几何 (时间:100 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1 1.到直线 3x-4y+1=0 的距离为 3,且与此直线平行的直线方程是( ) A.3x-4y+4=0 B.3x-4y+4=0 或 3x-4y-2=0 C.3x-4y+16=0 D.3x-4y+16=0 或 3x-4y-14=0 2 2.已知方程=1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则n的取值范围是( ) x2 m2+ n - y2 3m2- n A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)33 3 3.若双曲线C:
2、=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4 所截得的弦长为 2,则C的离心率 x2 a2 - y2 b2 为( ) A.2B.C.D.32 23 3 4 4.已知直线过点A(0,3),圆(x-1)2+y2=4 被该直线截得的弦长为 2,则该直线的方程是( )3 A.y=- x+3 4 3 B.x=0 或y=- x+3 4 3 C.x=0 或y= x+3 4 3 D.x=0 5 5.(2018 全国,理 12)已知F1,F2是椭圆C:=1(ab0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在 x2 a2 + y2 b2 过点A且斜率为的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则
3、C的离心率为( ) 3 6 A.B.C.D. 2 3 1 2 1 3 1 4 6 6.(2018 全国,理 11)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两 x2 3 条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|=( ) A.B.3C.2D.4 3 2 3 2 7 7.已知抛物线y2=2px(p0)与双曲线=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原 x2 a2 - y2 b2 点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为 2,|AF|=7,则p=( ) A.3B.6C.12D.42 8 8.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦
4、点为F,准线为l,A,B是C上两动点,且AFB=(为常数),线 段AB中点为M,过点M作l的垂线,垂足为N.若的最小值为 1,则=( ) |AB| |MN| A.B.C.D. 6 4 3 2 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9 9.若双曲线x2- =1 的离心率为,则实数m= . y2 m 3 1010.抛物线y2=8x的焦点到双曲线=1 的渐近线的距离为 . x2 12 - y2 4 1111.已知抛物线y2=2px(p0)上一点M(1,m)(m0)到其焦点的距离为 5,双曲线-y2=1 的左顶点为A. x2 a 若双曲线一条渐近线与直线AM平行,则实数a=
5、. 1212.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,M是抛物线C上的点.若三角形OFM的外接圆与抛物线C 的准线相切,且该圆的面积为 36,则p的值为 . 1313.已知双曲线C:=1(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的 x2 a2 - y2 b2 一条渐近线交于M,N两点.若MAN=60,则C的离心率为 . 1414.(2018 全国,理 16)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于 A,B两点.若AMB=90,则k= . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 1515. (13 分)如图,在平面直
6、角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为 1,圆心在 l上. (1)若圆心C也在直线y=x-1 上,过点A作圆C的切线,求切线的方程; (2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围. 3 1616.(13 分)已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一 x2 a2 + y2 b2 15 4 点,且PF1F2的周长是 8+2.15 (1)求椭圆C的方程; (2)设圆T:(x-2)2+y2=,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率. 4 9 1717.(13 分)(2
7、018 全国,文 20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:=1 交于A,B两点,线段AB x2 4 + y2 3 的中点为M(1,m)(m0). (1)证明:k0,b0)的右焦点为F(c,0). x2 a2 - y2 b2 (1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x,且c=2,求双曲线的方程; (2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为- ,求双曲线的离心率.3 1919.(14 分)(2018 上海,20)设常数t2,在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l:x=t,曲线 :y2=8x(0xt,y0).l与x轴交于点A,与交于点B,P,Q
8、分别是曲线与线段AB上的动点. (1)用t表示点B到点F的距离; (2)设t=3,|FQ|=2,线段OQ的中点在直线FP上,求AQP的面积; (3)设t=8,是否存在以FP,FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在上?若存在,求点P的坐标;若不存 在,说明理由. 2020.(14 分)设椭圆=1(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为 ,已知A是抛物线 x2 a2 + y2 b2 1 2 y2=2px(p0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为. 1 2 4 (1)求椭圆的方程和抛物线的方程; (2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点 D
9、.若APD的面积为,求直线AP的方程. 6 2 单元质检八 解析几何 1 1.D 解析设所求直线方程为 3x-4y+m=0(m1),由=3,解得m=16 或m=-14. |m - 1| 5 即所求直线方程为 3x-4y+16=0 或 3x-4y-14=0. 2 2.A 解析由题意得(m2+n)(3m2-n)0,解得-m20,b0)的两条渐近线方程为y=x,代入y2=2px(p0), x2 a2 - y2 b2 3 得x= p或x=0,故xA=xB= p. 2 3 2 3 又因为|AF|=xA+p+ =7,所以p=6. p 2 = 2 3 p 2 8 8.C 解析如图,过点A,B分别作准线的垂线
10、AQ,BP,垂足分别是Q,P. 设|AF|=a,|BF|=b,连接AF,BF. 由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|. 在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b. 由余弦定理得,|AB|2=a2+b2-2abcos. 6 的最小值为 1, |AB| |MN| a2+b2-2abcos,当=时,不等式恒成立.故选 C. (a + b)2 4 3 9 9.2 解析由题意知a=1,b=,m0,c=,则离心率e=,解得ma2+ b2=1 + m c a =1 + m =3 m=2. 1010.1 解析抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),其到双曲线=1 的渐近线xy
11、=0 的距离d= x2 12 - y2 4 3 =1. |2 0| 1 + 3 1111. 解析由题意可知,抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-4, 1 9 则p=8,所以点M(1,4). 因为双曲线-y2=1 的左顶点为A(-,0), x2 a a 所以直线AM的斜率为. 4 1 +a 由题意得,解得a= . 4 1 +a = 1 a 1 9 1212.8 解析设OFM的外接圆圆心为O1, 则|O1O|=|O1F|=|O1M|,所以O1在线段OF的垂直平分线上. 又因为O1与抛物线的准线相切,所以O1在抛物线上,所以O1.( p 4, 2 2 p) 又因为圆面积为 36,所以半径为
12、6, 所以p2=36,所以p=8. p2 16 + 1 2 1313. 解析如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b. 23 3 MAN=60, |AP|=b,|OP|=. 3 2 |OA|2- |PA|2=a2- 3 4b 2 设双曲线C的一条渐近线y= x的倾斜角为,则 tan=. b a |AP| |OP| = 3 2 b a2- 3 4b 2 7 又 tan=,解得a2=3b2, b a 3 2 b a2- 3 4b 2 = b a e=.1 + b2 a2 =1 + 1 3 = 23 3 1414.2 解析设直线AB:x=my+1, 联立y2-4my-4=0. x =
13、 my + 1, y2= 4x 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4. 而=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),MA =(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).MB AMB=90, =(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)MAMB =(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5 =-4(m2+1)+(2m-1)4m+5 =4m2-4m+1=0. m= .k= =2. 1 2 1 m 1515.解(1)由得圆心C(3,2).y = 2x - 4, y = x - 1, 又因为圆C的半径为 1, 所以圆C的方程为(
14、x-3)2+(y-2)2=1. 显然切线的斜率一定存在, 设所求圆C的切线方程为y=kx+3, 即kx-y+3=0,则=1, |3k - 2 + 3| k2+ 1 所以|3k+1|=,k2+ 1 即 2k(4k+3)=0. 所以k=0 或k=- . 3 4 所以所求圆C的切线方程为y=3 或y=- x+3, 3 4 8 即y=3 或 3x+4y-12=0. (2)由圆C的圆心在直线l:y=2x-4 上,可设圆心C为(a,2a-4), 则圆C的方程为(x-a)2+y-(2a-4)2=1. 设M(x,y), 又因为|MA|=2|MO|, 所以=2,x2+ (y - 3)2x2+ y2 整理得x2+
15、(y+1)2=4. 设方程x2+(y+1)2=4 表示的是圆D, 所以点M既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点,所以 2-1a2+ (2a - 4) - ( - 1)2 2+1, 解得a的取值范围为.0, 12 5 1616.解(1)由题意,得e=, c a = 15 4 = a2- b2 a 可知a=4b,c=b.15 PF1F2的周长是 8+2,15 2a+2c=8+2,a=4,b=1.15 椭圆C的方程为+y2=1. x2 16 (2)椭圆的上顶点为M(0,1),由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率,则设其方程为l:y=kx+1. 由直线y=kx+1 与圆T相切可知, |2k +
16、1| 1 + k2 = 2 3 即 32k2+36k+5=0, k1+k2=-,k1k2= . 9 8 5 32 由得(1+16)x2+32k1x=0, y = k1x + 1, x2 16 + y2= 1, k21 xE=-. 32k1 1 + 16k21 同理xF=-, 32k2 1 + 16k22 kEF=. yE- yF xE- xF = k1xE- k2xF xE- xF k1+ k2 1 - 16k1k2 = 3 4 9 故直线EF的斜率为. 3 4 1717.证明(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1. x21 4 + y21 3 x22 4 + y22 3 两
17、式相减,并由=k,得k=0. y1- y2 x1- x2 x1+ x2 4 + y1+ y2 3 由题设知=1,=m,于是k=- . x1+ x2 2 y1+ y2 2 3 4m 由题设得 01,所以该双曲线的离心率e=(负值舍去).2 故双曲线的离心率为.2 1919.解(1)(方法一)设B(t,2),2t 则|BF|=t+2.(t - 2)2+ 8t (方法二)设B(t,2),2t 由抛物线的定义可知,|BF|=t+2. (2)由题意,得F(2,0),|FQ|=2,t=3, |FA|=1,|AQ|=,Q(3,).33 设OQ的中点为D, 则D,kPF=-,( 3 2, 3 2) 3 2 -
18、 0 3 2 - 2 3 直线PF的方程为y=-(x-2).3 由整理,得 3x2-20x+12=0, y = -3(x - 2), y2= 8x, 解得x=或x=6(舍去). 2 3 AQP的面积S=. 1 2 3 (3 - 2 3) = 73 6 (3)存在.设P,E,( y2 8,y) ( m2 8,m) 则kPF=,kFQ=,直线QF的方程为y=(x-2), y y2 8 - 2 = 8y y2- 16 16 - y2 8y 16 - y2 8y 11 yQ=(8-2)=,Q. 16 - y2 8y 48 - 3y2 4y (8, 48 - 3y2 4y ) ,E.FP + FQ =
19、FE( y2 8 + 6, 48 + y2 4y ) =8,解得y2= .( 48 + y2 4y ) 2 ( y2 8 + 6) 16 5 存在以FP,FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在上,且P.( 2 5, 45 5 ) 2020.解(1)设F的坐标为(-c,0). 依题意,=a,a-c=, c a = 1 2, p 2 1 2 解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2-c2= . 1 2 3 4 所以椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x. 4y2 3 (2)设直线AP的方程为x=my+1(m0),与直线l的方程x=-1 联立,可得点P,(- 1, - 2 m) 故Q.(-
20、1, 2 m) 将x=my+1 与x2+=1 联立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0 或y=. 4y2 3 - 6m 3m2+ 4 由点B异于点A,可得点B. ( - 3m2+ 4 3m2+ 4 , - 6m 3m2+ 4) 由Q,可得直线BQ的方程为(x+1)-=0.(- 1, 2 m) ( - 6m 3m2+ 4 - 2 m) ( - 3m2+ 4 3m2+ 4 + 1)(y - 2 m) 令y=0,得x=,故D. 2 - 3m2 3m2+ 2 ( 2 - 3m2 3m2+ 2,0) 所以|AD|=1-. 2 - 3m2 3m2+ 2 = 6m2 3m2+ 2 又因为APD的面积为, 6 2 故, 1 2 6m2 3m2+ 2 2 |m| = 6 2 整理得 3m2-2|m|+2=0,解得|m|=,6 6 3 所以m=. 6 3 所以直线AP的方程为 3x+y-3=0 或 3x-y-3=0.66 12