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1、1 考点规范练 37 直线与方程考点规范练 37 直线与方程 一、基础巩固 1 1.若直线l与直线y=1,x=7 分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为 ( ) A.B.-C.-D. 1 3 1 3 3 2 2 3 2 2.若直线mx+2y+m=0 与直线 3mx+(m-1)y+7=0 平行,则m的值为( ) A.7B.0 或 7C.0D.4 3 3.若直线l1:kx+(1-k)y-3=0 和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0 互相垂直,则k=( ) A.-3 或-1B.3 或 1C.-3 或 1D.-1 或 3 4 4.若直线l1:y=k(x-4)与直
2、线l2关于点(2,1)对称,则直线l2经过定点( ) A.(0,4)B.(0,2)C.(-2,4)D.(4,-2) 5 5.在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0 和直线l2:bx+y+a=0 的图象可能是( ) 6 6.若点(m,n)在直线 4x+3y-10=0 上,则m2+n2的最小值是( ) A.2B.2C.4D.223 7 7.已知直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是( ) A.B.(1,+)(- 1, 1 5) (- , 1 2) C.(-,1)D.(-,-1)( 1 5, + ) ( 1 2, + ) 8 8.已知点P(
3、4,a)到直线 4x-3y-1=0 的距离不大于 3,则a的取值范围是 . 9 9.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m的值. (1)直线l经过定点P(2,-1); (2)直线l在y轴上的截距为 6; (3)直线l与y轴平行; (4)直线l与y轴垂直. 2 1010.已知两条直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当m分别为何值时,l1与l2: (1)相交? (2)平行? (3)垂直? 二、能力提升 1111.若mR R,则“log6m=-1”是“直线l1:x+2my-1=0 与l2:(3m-1)x-my-1=
4、0 平行”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 1212.已知点A(7,-4)关于直线l的对称点为B(-5,6),则该对称直线l的方程为( ) A.6x+5y-1=0B.5x+6y+1=0 C.5x-6y-1=0D.6x-5y-1=0 1313.在直角坐标平面内,过定点P的直线l:ax+y-1=0 与过定点Q的直线m:x-ay+3=0 相交于点M,则 |MP|2+|MQ|2的值为( ) A.B.C.5D.10 10 2 10 1414.已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等,则 2x+4y的最小值为 . 1515.已知直线l1
5、:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当 00,b0 时,-a0,-b0,选项 B 符合. 6 6.C 解析(方法一)因为点(m,n)在直线 4x+3y-10=0 上, 所以 4m+3n-10=0. 欲求m2+n2的最小值可先求的最小值.(m - 0)2+ (n - 0)2 而表示 4m+3n-10=0 上的点(m,n)到原点的距离,如图.(m - 0)2+ (n - 0)2 当过原点和点(m,n)的直线与直线 4m+3n-10=0 垂直时,原点到点(m,n)的距离最小,最小值为 2. 故m2+n2的最小值为 4. (方法二)由题意知点(m,n)为直线上到原点最近的点,直线与
6、两坐标轴交于A,B,( 5 2,0) (0, 10 3) 4 在 RtOAB中,|OA|=,|OB|=,|AB|=, 5 2 10 3 ( 5 2) 2 +( 10 3) 2 = 25 6 斜边上的高h即为所求m2+n2的算术平方根, SOAB= |OA|OB|= |AB|h, 1 2 1 2 h=2, |OA|OB| |AB| = 5 2 10 3 25 6 m2+n2的最小值为h2=4. 7 7.D 解析设直线的斜率为k,如图.当过定点A的直线经过点B时,直线l在x轴上的截距为 3,此 时k=-1;当过定点A的直线经过点C时,直线l在x轴上的截距为-3,此时k= .故所求的直线的斜率 1
7、2 的取值范围是(-,-1).( 1 2, + ) 8 8.0,10 解析由题意得,点P到直线的距离为. |4 4 - 3 a - 1| 5 = |15 - 3a| 5 又3,即|15-3a|15,解得 0a10,故a的取值范围是0,10. |15 - 3a| 5 9 9.解(1)由于点P在直线l上,即点P的坐标(2,-1)适合方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6, 把点P的坐标(2,-1)代入方程,得 2(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6, 解得m= . 1 7 (2)令x=0,得y=, 2m - 6 2m2+ m - 1 根据题意可知=6, 2m - 6
8、2m2+ m - 1 解得m=-或m=0. 1 3 (3)直线与y轴平行, 则有m 2 - 2m - 3 0, 2m2+ m - 1 = 0, 解得m= . 1 2 (4)直线与y轴垂直, 5 则有解得m=3. m2- 2m - 3 = 0, 2m2+ m - 1 0, 1010.解(1)当m=-5 时,显然l1与l2相交但不垂直; 当m-5 时,两条直线l1和l2的斜率分别为k1=-,k2=-,它们在y轴上的截距分别为b1= 3 + m 4 2 5 + m ,b2=. 5 - 3m 4 8 5 + m 由k1k2,得-, 3 + m 4 2 5 + m 即m-7,且m-1. 则当m-7,且m
9、-1 时,l1与l2相交. (2)由 k1= k2, b1 b2, 得 - 3 + m 4 =- 2 5 + m, 5 - 3m 4 8 5 + m, 解得m=-7. 则当m=-7 时,l1与l2平行. (3)由k1k2=-1,得=-1,解得m=- .(- 3 + m 4 )(- 2 5 + m) 13 3 则当m=-时,l1与l2垂直. 13 3 1111.A 解析由 log6m=-1,得m= .若l1:x+2my-1=0 与l2:(3m-1)x-my-1=0 平行, 1 6 则直线斜率相等或斜率不存在, 解得m=0 或m=, 1 6 则“log6m=-1”是“直线l1:x+2my-1=0
10、与l2:(3m-1)x-my-1=0 平行”的充分不必要条件. 1212.D 解析由题意可得,直线l是线段AB的垂直平分线.因为A(7,-4),B(-5,6),所以kAB=- 6 + 4 - 5 - 7 ,所以kl= .又因为线段AB的中点坐标为(1,1),所以直线l的方程为y-1=(x-1),即 6x-5y-1=0. 5 6 6 5 6 5 1313.D 解析由题意知P(0,1),Q(-3,0). 过定点P的直线ax+y-1=0 与过定点Q的直线x-ay+3=0 垂直, 点M位于以PQ为直径的圆上. |PQ|=,9 + 1 =10 |MP|2+|MQ|2=|PQ|2=10. 6 1414.4
11、 解析由题意得,点P在线段AB的垂直平分线上,则易得点P的轨迹方程为x+2y=3,所以2 2x+4y2=2=4,当且仅当x=2y=时等号成立,故 2x+4y的最小值为 4.2x4y2x + 2y2 3 2 2 1515.解由 ax - 2y = 2a - 4, 2x + a2y = 2a2+ 4,得 x = 2, y = 2, 所以直线l1与l2交于点A(2,2)(如图). 易知|OB|=a2+2,|OC|=2-a,连接OA, 则S四边形OBAC=SAOB+SAOC= 2(a2+2)+ 2(2-a)=a2-a+4=,a(0,2), 1 2 1 2 (a - 1 2) 2 + 15 4 所以当a=时,四边形OBAC的面积最小. 1 2 1616.D 解析依题意得|a-b|=,当 0c 时,|a-b|=1.(a + b)2- 4ab =1 - 4c 1 8 2 2 1 - 4c 因为两条直线间的距离等于,所以两条直线间的距离的最大值与最小值分别是 |a - b| 2 2 2 , 2 2 1 2 .= 1 2