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1、1 考点规范练 40 椭圆考点规范练 40 椭圆 一、基础巩固 1 1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是 26,则椭圆的方程为 ( ) A.=1B.=1 x2 169 + y2 144 x2 144 + y2 169 C.=1D.=1 x2 169 + y2 25 x2 144 + y2 25 2 2.已知椭圆=1(k-4)的离心率为 ,则k的值为( ) x2 9 + y2 4 + k 4 5 A.-B.21 19 25 C.-或 21D. 或 21 19 25 19 25 3 3.若曲线ax2+by2=1 是焦点在x轴上的椭圆,则实数a,b满足( )
2、 A.a2b2B. 1 a b0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两 x2 a2 + y2 b2 b 2 点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是 . 9 9.已知椭圆=1(ab0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于 x2 a2 + y2 b2 另一点B. (1)若F1AB=90,求椭圆的离心率; (2)若=2,求椭圆的方程.AF2F2B,AF1AB = 3 2 1010.已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),OAB的面积为 1. x2 a2 + y2 b2 3 2 (1)求椭圆C的方程; (2)设P是椭圆C上一点
3、,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:|AN|BM|为定 值. 3 二、能力提升 1111.已知P是椭圆=1 上的一点,M,N分别是两圆:(x+4)2+y2=1 和(x-4)2+y2=1 上的点,则 x2 25 + y2 9 |PM|+|PN|的最小值、最大值分别为( ) A.9,12B.8,11C.8,12D.10,12 1212.已知椭圆=1(ab0)与双曲线=1(m0,n0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是 x2 a2 + y2 b2 x2 m2 - y2 n2 a,m的等比中项,n2是 2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率为( ) A.B.C.D. 3
4、2 2 2 1 2 1 4 1313.已知椭圆=1(ab0)的焦点为F1,F2,若椭圆上存在满足的点P,则椭圆的离心 x2 a2 + y2 b2 PF1PF2= b2 2 率的范围是 . 1414.已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为. 3 2 (1)求椭圆C的方程; (2)点D为x轴上一点,过点D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过点D作AM的垂线交BN 于点E.求证:BDE与BDN的面积之比为 45. 三、高考预测 1515.(2018 全国,理 19)设椭圆C:+y2=1 的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐 x2 2 标
5、为(2,0). (1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明:OMA=OMB. 4 考点规范练 4040 椭圆 1 1.A 解析由题意知a=13,c=5, 则b2=a2-c2=144. 又椭圆的焦点在x轴上, 所以椭圆的方程为=1. x2 169 + y2 144 2 2.C 解析若a2=9,b2=4+k, 则c=.5 - k 由,即, c a = 4 5 5 - k 3 = 4 5 解得k=- . 19 25 若a2=4+k,b2=9,则c=.k - 5 由,即, c a = 4 5 k - 5 4 + k = 4 5 解得k=21. 3 3.C 解析由ax2+by
6、2=1,得=1.因为椭圆的焦点在x轴上,所以0,所以 0 1 b 4 4.C 解析圆M的方程可化为(x+m)2+y2=3+m2,则由题意得m2+3=4,即m2=1(mb0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|+|PF2|=2a. x2 a2 + y2 b2 F2PF1=90,PF2F1=60, c+c=2a,即(+1)c=2a.33 e=-1. c a = 2 3 + 1 = 2(3 - 1) (3 - 1)(3 + 1) =3 6 6.C 解析由题意知F1(-1,0),F2(1,0).设P(x0,y0), 5 则=(-1-x0,-y0),=(1-x0,-y0),PF1PF2 =(
7、-2x0,-2y0),PF1+ PF2 |=2=2.PF1+ PF24x20+ 4y202 - 2y20+ y20- y20+ 2 点P在椭圆上,01,y20 当=1 时,|取最小值 2.故选 C.y20PF1+ PF2 7 7. 解析由题意知a=3,b=. 5 13 5 由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6. 在PF1F2中,因为PF1的中点在y轴上,O为F1F2的中点. 由三角形中位线性质可推得PF2x轴, 所以|PF2|=, b2 a = 5 3 所以|PF1|=6-|PF2|=, 13 3 所以. |PF2| |PF1| = 5 13 8 8. 解析由题意得B,C,F(c,0),所以
8、 6 3 (- 3 2 a, b 2) ( 3 2 a, b 2) BF =(c + 3 2 a, - b 2),CF = .(c - 3 2 a, - b 2) 因为BFC=90,所以=0.BFCF 所以c2-=0.( 3 2 a) 2 +( b 2) 2 又a2-b2=c2,所以 3c2=2a2, 即,所以e=. c2 a2 = 2 3 6 3 9 9.解(1)因为F1AB=90,所以|OA|=|OF2|,即b=c. 所以a=c,e=.2 c a = 2 2 (2)由题意知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=.设B(x,y).a2- b2 由=2,得(c,-b)=2(x
9、-c,y),AF2F2B 解得x=,y=-,即B. 3c 2 b 2 ( 3c 2, - b 2) 6 将点B的坐标代入=1,得=1, x2 a2 + y2 b2 9 4c 2 a2 + b2 4 b2 即=1,解得a2=3c2. 9c2 4a2 + 1 4 又由=(-c,-b),AF1AB( 3c 2, - 3b 2) = 3 2 得b2-c2=1,即有a2-2c2=1. 由解得c2=1,a2=3,从而有b2=2. 所以椭圆的方程为=1. x2 3 + y2 2 1010.(1)解由题意得 c a = 3 2 , 1 2ab = 1, a2= b2+ c2, 解得a = 2, b = 1.
10、所以椭圆C的方程为+y2=1. x2 4 (2)证明由(1)知,A(2,0),B(0,1). 设P(x0,y0),则+4=4.x20y20 当x00 时,直线PA的方程为 y=(x-2). y0 x0- 2 令x=0,得yM=-, 2y0 x0- 2 从而|BM|=|1-yM|=.|1 + 2y0 x0- 2| 直线PB的方程为y=x+1. y0- 1 x0 令y=0,得xN=-, x0 y0- 1 从而|AN|=|2-xN|=.|2 + x0 y0- 1| 所以|AN|BM|=4.|2 + x0 y0- 1|1 + 2y0 x0- 2| x20+ 4y20+ 4x0y0- 4x0- 8y0+
11、 4 x0y0- x0- 2y0+ 2 | 4x0y0- 4x0- 8y0+ 8 x0y0- x0- 2y0+ 2| 当x0=0 时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2, 所以|AN|BM|=4. 7 综上,|AN|BM|为定值. 1111.C 解析如图,因为两个圆心恰好是椭圆的焦点,由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10.所以 |PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-2=8,最大值为|PF1|+|PF2|+2=12. 1212.C 解析因为椭圆=1(ab0)与双曲线=1(m0,n0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),所 x2 a2 + y2 b2 x2 m2 - y
12、2 n2 以c2=a2-b2=m2+n2. 因为c是a,m的等比中项,n2是 2m2与c2的等差中项,所以c2=am,2n2=2m2+c2, 所以m2=,n2=, c4 a2 c4 a2 + c2 2 所以=c2,化为, 2c4 a2 + c2 2 c2 a2 = 1 4 所以e=. c a = 1 2 1313. 解析椭圆的焦点为F1,F2,椭圆上存在满足的点P, 3 3 ,1)PF1PF2= b2 2 |cos,|+|=2a,PF1 2 + PF2 2 PF1PF2PF1,PF2PF1PF2 可得+2|=4a2,PF1 2 + PF2 2 PF1PF2 4c2=4a2-2|-b2.PF1P
13、F2 2|=3a2-3c22,PF1PF2 ( |PF1| + |PF2| 2) 2 当且仅当|=|时,等号成立.PF1PF2 可得,解得e. c2 a2 1 3 3 3 又 0b0). x2 a2 + y2 b2 8 由题意得解得 a = 2, c a = 3 2 , a = 2, c = 3. 所以b2=a2-c2=1. 所以椭圆C的方程为+y2=1. x2 4 (2)证明设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n). 由题设知m2,且n0. 直线AM的斜率kAM=, n m + 2 故直线DE的斜率kDE=-. m + 2 n 所以直线DE的方程为y=-(x-m). m + 2 n 直
14、线BN的方程为y=(x-2). n 2 - m 联立 y =- m + 2 n (x - m), y = n 2 - m(x - 2), 解得点E的纵坐标yE=-. n(4 - m2) 4 - m2+ n2 由点M在椭圆C上,得 4-m2=4n2,所以yE=- n. 4 5 又SBDE= |BD|yE|= |BD|n|, 1 2 2 5 SBDN= |BD|n|, 1 2 所以BDE与BDN的面积之比为 45. 1515.(1)解由已知得F(1,0),l的方程为x=1, 点A的坐标为.(1, 2 2)或(1, - 2 2) 所以AM的方程为y=-x+或y=x-. 2 2 2 2 2 2 (2)
15、证明当l与x轴重合时,OMA=OMB=0, 当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以OMA=OMB. 当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1,x2,直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=.22 y1 x1- 2 + y2 x2- 2 9 由y1=kx1-k,y2=kx2-k,得 kMA+kMB=. 2kx1x2- 3k(x1+ x2) + 4k (x1- 2)(x2- 2) 将y=k(x-1)代入+y2=1, x2 2 得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0, 所以x1+x2=,x1x2=. 4k2 2k2+ 1 2k2- 2 2k2+ 1 则 2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=0. 4k3- 4k - 12k3+ 8k3+ 4k 2k2+ 1 从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以OMA=OMB. 综上,OMA=OMB.