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1、- 1 - 课时跟踪检测（五十六） 题型上高考 3 大题型逐一精研 课时跟踪检测（五十六） 题型上高考 3 大题型逐一精研 1.(2018郑州一检)已知椭圆C：1(ab0)的左、 右焦 x2 a2 y2 b2 点分别为F1，F2， 以F1F2为直径的圆与直线ax2byab0 相切3 (1)求椭圆C的离心率； (2)如图， 过F1作直线l与椭圆分别交于P， Q 两点， 若PQF2的周长为 4， 求2F2P F2Q 的最大值 解 ： (1)由题意知c， 即3a2b2c2(a24b2)(a2b2)(a24b2) 化简得a22b2， | 3ab| a24b2 所以e.1b 2 a2 2 2 (2)因为
2、PQF2的周长为 4，所以 4a4，得a，222 由(1)知b21，所以椭圆C的方程为y21，且焦点F1(1,0)，F2(1,0)， x2 2 若直线l的斜率不存在，则直线lx轴，直线方程为 x1，P， Q， 故 (1， 2 2) (1， 2 2) F2P (2， 2 2) F2Q (2， 2 2) F2P F2Q . 7 2 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x1)， 由Error!消去y并整理得 (2k21)x24k2x2k220， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则x1x2，x1x2， 4k2 2k21 2k22 2k21 (x11，y1)(x21，y2)F2P F2Q
3、(x11)(x21)y1y2 (k21)x1x2(k21)(x1x2)k21 (k21)(k21)k21 2k22 2k21( 4k2 2k21) ， 7k21 2k21 7 2 9 22k21 由k20 可得.F2P F2Q (1， 7 2) 综上所述，F2P F2Q (1， 7 2 - 2 - 所以的最大值是 .F2P F2Q 7 2 2(2019沈阳教学质量监测)设O为坐标原点，动点M在椭圆1 上，过M作x轴 x2 9 y2 4 的垂线，垂足为N，点P满足.NP 2NM (1)求点P的轨迹E的方程； (2)过F(1,0)的直线l1与点P的轨迹交于A，B两点，过F(1,0)作与l1垂直的直
4、线l2与 点P的轨迹交于C，D两点，求证：为定值 1 |AB| 1 |CD| 解：(1)设P(x，y)，易知N(x,0)，(0，y)，NP 又，M，NM 1 2 NP (0， y 2)(x， y 2) 又点M在椭圆上，1，即1. x2 9 ( y 2) 2 4 x2 9 y2 8 点P的轨迹E的方程为1. x2 9 y2 8 (2)证明：当直线l1与x轴重合时，|AB|6，|CD|， 16 3 . 1 |AB| 1 |CD| 17 48 当直线l1与x轴垂直时，|AB|，|CD|6， 16 3 . 1 |AB| 1 |CD| 17 48 当直线l1与x轴不垂直也不重合时， 可设直线l1的方程为
5、yk(x1)(k0)， 则直线l2 的方程为y (x1)， 1 k 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)， 联立直线l1与曲线E的方程，得Error! 得(89k2)x218k2x9k2720， 可得Error! |AB|，1k2x1x224x1x2 481k2 89k2 同理可得x3x4，x1x2. 18 8k29 972k2 8k29 则|CD| .1 1 k2 x3x424x3x4 481k2 98k2 - 3 - . 1 |AB| 1 |CD| 89k2 48k21 98k2 48k21 17 48 综上可得为定值 1 |AB| 1 |CD| 3已知
6、椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长 x2 a2 y2 b2 6 3 为半径的圆与直线 2xy60 相切2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点A，B为动直线yk(x2)(k0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存 在定点E，使得 2 为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值 ； 若不存在，请EA EA AB 说明理由 解：(1)由e，得 ， 6 3 c a 6 3 即ca， 6 3 又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2y2a2， 且该圆与直线 2xy60 相切，2 所以a，代入得c2， |6| 22 22 6 所以b2a2c22， 所以椭圆C的标
7、准方程为1. x2 6 y2 2 (2)由Error! 得(13k2)x212k2x12k260. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以x1x2，x1x2. 12k2 13k2 12k26 13k2 根据题意，假设x轴上存在定点E(m,0)， 使得 2 ()为定值，EA EA AB EA AB EA EA EB 则(x1m，y1)(x2m，y2)EA EB (x1m)(x2m)y1y2 (k21)x1x2(2k2m)(x1x2)(4k2m2) ， 3m212m10k2m26 13k2 要使上式为定值，即与k无关， 只需 3m212m103(m26)， - 4 - 解得m ， 7 3 此
8、时， 2 m26 ，EA EA AB 5 9 所以在x轴上存在定点E使得 2 为定值，且定值为 . ( 7 3，0) EA EA AB 5 9 4(2019惠州调研)已知点C为圆(x1)2y8 的圆心，P是圆上的动点，点 Q 在圆的 半径CP上，且有点A(1,0)和AP上的点M，满足0，2.MQ AP AP AM (1)当点P在圆上运动时，求点 Q 的轨迹方程； (2)若斜率为k的直线l与圆x2y21相切， 与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H， O是坐标原点，且 时，求k的取值范围 3 4 OF OH 4 5 解 ： (1)由题意知MQ是线段AP的垂直平分线， 所以|CP|QC|QP
9、|QC|QA|22 |CA|2， 所以点 Q 的轨迹是以点C，A为焦点， 焦距为 2， 长轴长为 2的椭圆， 所以a，c1，b22 1，a2c2 故点 Q 的轨迹方程是y21. x2 2 (2)设直线l：ykxt，F(x1，y1)，H(x2，y2)， 直线l与圆x2y21 相切1t2k21. |t| k21 联立Error!(12k2)x24ktx2t220， 16k2t24(12k2)(2t22)8(2k2t21)8k20k0， x1x2，x1x2， 4kt 12k2 2t22 12k2 所以x1x2y1y2OF OH (1k2)x1x2kt(x1x2)t2 ktt2 1k22t22 12k2 4kt 12k2 k21 1k22k2 12k2 4k2k21 12k2 ， 1k2 12k2 所以 k2 |k|， 3 4 1k2 12k2 4 5 1 3 1 2 3 3 2 2 - 5 - 所以k或k. 2 2 3 3 3 3 2 2 故k的取值范围是. 2 2 ， 3 3 3 3 ， 2 2