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1、- 1 - 课时跟踪检测(十九) 导数与函数的零点问题课时跟踪检测(十九) 导数与函数的零点问题 1设a为实数,函数f(x)x33xa. (1)求f(x)的极值; (2)是否存在实数a,使得方程f(x)0 恰好有两个实数根?若存在,求出实数a的值; 若不存在,请说明理由 解:(1)f(x)3x23,令f(x)0,得x1 或x1. 当x(,1)时,f(x)0; 当x(1,1)时,f(x)0; 当x(1,)时, f(x)0, f(x)在(,1),(1,)上单调递减,在(1,1)上单调递增 f(x)的极小值为f(1)a2,极大值为f(1)a2. (2)方程f(x)0 恰好有两个实数根, 等价于直线y
2、a与函数yx33x的图象有两个交 点 yx33x, y3x23.令y0, 解得x1 或x1; 令y0, 解得1x1. yx33x在(1,1)上为减函数, 在(1, )和(, 1)上为增函数 当x1 时,y极大值2;当x1 时,y极小值2.yx33x的大致图象如图 所示 ya表示平行于x轴的一条直线,由图象知,当a2 或a2 时,ya与yx33x 有两个交点 故当a2 或a2 时,方程f(x)0 恰好有两个实数根 2(2019锦州联考)已知函数f(x)exaxa(aR 且a0) (1)若函数f(x)在x0 处取得极值, 求实数a的值, 并求此时f(x)在2,1上的最大值 ; (2)若函数f(x)
3、不存在零点,求实数a的取值范围 解:(1)由f(x)exaxa,得f(x)exa.函数f(x)在x0 处取得极值, f(0)e0a0,a1.f(x)exx1,f(x)ex1.当x(,0)时, f(x)0,f(x)单调递减 ; 当x(0, )时,f(x)0,f(x)单调递增 易知f(x)在2,0) 上单调递减,在(0,1上单调递增,且f(2)3,f(1)e,f(2)f(1), 1 e2 f(x)在2,1上的最大值是3. 1 e2 (2)f(x)exa. 当a0 时,f(x)0,f(x)在 R 上单调递增,且当x1 时,f(x)exa(x1)0 ; 当x0 时,取x ,则f1aa0,函数f(x)存
4、在零点,不满 1 a( 1 a)( 1 a1) 足题意 - 2 - 当a0 时,令f(x)exa0,则xln(a) 当x(,ln(a)时,f(x)0,f(x)单调递减; 当x(ln(a),)时,f(x)0 ,f(x)单调递增, 当xln(a)时,f(x)取得极小值,也是最小值 函数f(x)不存在零点, 等价于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0, 解得e2a0. 综上所述,所求实数a的取值范围是(e2,0) 3(2018郑州第一次质量预测)已知函数f(x)ln x (aR 且a0) 1 ax 1 a (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当x时,试判断函数g(x)(ln
5、 x1)exxm的零点个数 1 e,e 解:(1)f(x)(x0), ax1 ax2 当a0 时,f(x)0 恒成立,函数f(x)在(0,)上单调递增; 当a0 时,由f(x)0,得x , ax1 ax2 1 a 由f(x)0,得 0x , ax1 ax2 1 a 函数f(x)在上单调递增,在上单调递减 ( 1 a,)(0, 1 a) 综上所述,当a0 时,函数f(x)在(0,)上单调递增; 当a0 时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减 ( 1 a,)(0, 1 a) (2)当x时,函数g(x)(ln x1)exxm的零点个数,等价于方程(ln x1)exx 1 e,e m的根的个数 令
6、h(x)(ln x1)exx, 则h(x)ex1. ( 1 xln x1) 由(1)知当a1 时,f(x)ln x 1 在上单调递减,在(1,e)上单调递增, 1 x( 1 e,1) 当x时,f(x)f(1)0. 1 e,e ln x10 在x上恒成立 1 x 1 e,e h(x)ex1010, ( 1 xln x1) - 3 - h(x)(ln x1)exx在x上单调递增, 1 e,e h(x)minh2e ,h(x)maxh(e)e. ( 1 e) 1 e 1 e 当m2e 或 me 时,函数g(x)在上没有零点; 1 e 1 e 1 e,e 当2e me 时,函数g(x)在上有一个零点
7、1 e 1 e 1 e,e 4(2019益阳、湘潭调研)已知函数f(x)ln xax2x,aR. (1)当a0 时,求曲线yf(x)在点(e,f(e)处的切线方程; (2)讨论f(x)的单调性; (3)若f(x)有两个零点,求a的取值范围 解:(1)当a0 时,f(x)ln xx,f(e)e1,f(x) 1,f(e)1 ,曲 1 x 1 e 线yf(x)在点(e,f(e)处的切线方程为y(e1)(xe),即yx. (1 1 e)( 1 e1) (2)f(x)(x0), 2ax2x1 x 当a0 时,显然f(x)0,f(x)在(0,)上单调递增; 当a0 时,令f(x)0,则2ax2x10,易知
8、0 恒成立 2ax2x1 x 设方程的两根分别为x1,x2(x1x2),则x1x20,x10x2, 1 2a f(x)(x0) 2ax2x1 x 2axx1xx2 x 由f(x)0 得x(0,x2),由f(x)0 得x(x2,),其中x2, 1 8a1 4a 函数f(x)在上单调递增,在上单调递减 (0, 1 8a1 4a)( 1 8a1 4a ,) (3)函数f(x)有两个零点,等价于方程a有两解 ln xx x2 令g(x)(x0),则g(x). ln xx x2 12ln xx x3 由g(x)0,得 2ln xx1,解得 0x1, 12ln xx x3 g(x)在(0,1)单调递增,在(1,)单调递减, 又当x1 时,g(x)0,当x0 时,g(x),当x时,g(x)0, 作出函数g(x)的大致图象如图,结合函数值的变化趋势猜想 : 当a(0,1)时符合题意 - 4 - 下面给出证明: 当a1 时,ag(x)max,方程至多一解,不符合题意; 当a0 时,方程至多一解,不符合题意; 当a(0,1)时,g0,ga0, ( 1 e)( 1 e) ga, ( 2 a) a2 4(ln 2 a 2 a) a2 4( 2 a 2 a) ga0. ( 2 a) 方程在与上各有一个根, ( 1 e,1) (1, 2 a) 若f(x)有两个零点,a的取值范围为(0,1)