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1、- 1 - 课时跟踪检测(十九) 导数与函数的零点问题课时跟踪检测(十九) 导数与函数的零点问题 1设a为实数，函数f(x)x33xa. (1)求f(x)的极值； (2)是否存在实数a，使得方程f(x)0 恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值； 若不存在，请说明理由 解：(1)f(x)3x23，令f(x)0，得x1 或x1. 当x(，1)时，f(x)0； 当x(1,1)时，f(x)0； 当x(1，)时， f(x)0， f(x)在(，1)，(1，)上单调递减，在(1,1)上单调递增 f(x)的极小值为f(1)a2，极大值为f(1)a2. (2)方程f(x)0 恰好有两个实数根， 等价于直线y
2、a与函数yx33x的图象有两个交 点 yx33x， y3x23.令y0， 解得x1 或x1； 令y0， 解得1x1. yx33x在(1,1)上为减函数， 在(1， )和(， 1)上为增函数 当x1 时，y极大值2；当x1 时，y极小值2.yx33x的大致图象如图 所示 ya表示平行于x轴的一条直线，由图象知，当a2 或a2 时，ya与yx33x 有两个交点 故当a2 或a2 时，方程f(x)0 恰好有两个实数根 2(2019锦州联考)已知函数f(x)exaxa(aR 且a0) (1)若函数f(x)在x0 处取得极值， 求实数a的值， 并求此时f(x)在2,1上的最大值 ； (2)若函数f(x)
3、不存在零点，求实数a的取值范围 解：(1)由f(x)exaxa，得f(x)exa.函数f(x)在x0 处取得极值， f(0)e0a0，a1.f(x)exx1，f(x)ex1.当x(，0)时， f(x)0，f(x)单调递减 ； 当x(0， )时，f(x)0，f(x)单调递增 易知f(x)在2,0) 上单调递减，在(0,1上单调递增，且f(2)3，f(1)e，f(2)f(1)， 1 e2 f(x)在2,1上的最大值是3. 1 e2 (2)f(x)exa. 当a0 时，f(x)0，f(x)在 R 上单调递增，且当x1 时，f(x)exa(x1)0 ； 当x0 时，取x ，则f1aa0，函数f(x)存
4、在零点，不满 1 a( 1 a)( 1 a1) 足题意 - 2 - 当a0 时，令f(x)exa0，则xln(a) 当x(，ln(a)时，f(x)0，f(x)单调递减； 当x(ln(a)，)时，f(x)0 ，f(x)单调递增， 当xln(a)时，f(x)取得极小值，也是最小值 函数f(x)不存在零点， 等价于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0， 解得e2a0. 综上所述，所求实数a的取值范围是(e2,0) 3(2018郑州第一次质量预测)已知函数f(x)ln x (aR 且a0) 1 ax 1 a (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当x时，试判断函数g(x)(ln
5、 x1)exxm的零点个数 1 e，e 解：(1)f(x)(x0)， ax1 ax2 当a0 时，f(x)0 恒成立，函数f(x)在(0，)上单调递增； 当a0 时，由f(x)0，得x ， ax1 ax2 1 a 由f(x)0，得 0x ， ax1 ax2 1 a 函数f(x)在上单调递增，在上单调递减 ( 1 a，)(0， 1 a) 综上所述，当a0 时，函数f(x)在(0，)上单调递增； 当a0 时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减 ( 1 a，)(0， 1 a) (2)当x时，函数g(x)(ln x1)exxm的零点个数，等价于方程(ln x1)exx 1 e，e m的根的个数 令
6、h(x)(ln x1)exx， 则h(x)ex1. ( 1 xln x1) 由(1)知当a1 时，f(x)ln x 1 在上单调递减，在(1，e)上单调递增， 1 x( 1 e，1) 当x时，f(x)f(1)0. 1 e，e ln x10 在x上恒成立 1 x 1 e，e h(x)ex1010， ( 1 xln x1) - 3 - h(x)(ln x1)exx在x上单调递增， 1 e，e h(x)minh2e ，h(x)maxh(e)e. ( 1 e) 1 e 1 e 当m2e 或 me 时，函数g(x)在上没有零点； 1 e 1 e 1 e，e 当2e me 时，函数g(x)在上有一个零点
7、1 e 1 e 1 e，e 4(2019益阳、湘潭调研)已知函数f(x)ln xax2x，aR. (1)当a0 时，求曲线yf(x)在点(e，f(e)处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性； (3)若f(x)有两个零点，求a的取值范围 解：(1)当a0 时，f(x)ln xx，f(e)e1，f(x) 1，f(e)1 ，曲 1 x 1 e 线yf(x)在点(e，f(e)处的切线方程为y(e1)(xe)，即yx. (1 1 e)( 1 e1) (2)f(x)(x0)， 2ax2x1 x 当a0 时，显然f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增； 当a0 时，令f(x)0，则2ax2x10，易知
8、0 恒成立 2ax2x1 x 设方程的两根分别为x1，x2(x1x2)，则x1x20，x10x2， 1 2a f(x)(x0) 2ax2x1 x 2axx1xx2 x 由f(x)0 得x(0，x2)，由f(x)0 得x(x2，)，其中x2， 1 8a1 4a 函数f(x)在上单调递增，在上单调递减 (0， 1 8a1 4a)( 1 8a1 4a ，) (3)函数f(x)有两个零点，等价于方程a有两解 ln xx x2 令g(x)(x0)，则g(x). ln xx x2 12ln xx x3 由g(x)0，得 2ln xx1，解得 0x1， 12ln xx x3 g(x)在(0,1)单调递增，在(1，)单调递减， 又当x1 时，g(x)0，当x0 时，g(x)，当x时，g(x)0， 作出函数g(x)的大致图象如图，结合函数值的变化趋势猜想 ： 当a(0,1)时符合题意 - 4 - 下面给出证明： 当a1 时，ag(x)max，方程至多一解，不符合题意； 当a0 时，方程至多一解，不符合题意； 当a(0,1)时，g0，ga0， ( 1 e)( 1 e) ga， ( 2 a) a2 4(ln 2 a 2 a) a2 4( 2 a 2 a) ga0. ( 2 a) 方程在与上各有一个根， ( 1 e，1) (1， 2 a) 若f(x)有两个零点，a的取值范围为(0,1)