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1、- 1 - 课时跟踪检测(十六) 导数与函数的极值、最值课时跟踪检测(十六) 导数与函数的极值、最值 一、题点全面练 1函数f(x)xex，x0,4的最小值为( ) A0 B.1 e C. D. 4 e4 2 e2 解析：选 A f(x)， 1x ex 当x0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增， 当x(1,4时，f(x)0，f(x)单调递减， 因为f(0)0，f(4)0，所以当x0 时，f(x)有最小值，且最小值为 0. 4 e4 2若函数f(x)aexsin x在x0 处有极值，则a的值为( ) A1 B0 C1 De 解析：选 C f(x)aexcos x，若函数f(x)aexsin
2、x在x0 处有极值，则 f(0)a10，解得a1，经检验a1 符合题意，故选 C. 3已知x2 是函数f(x)x33ax2 的极小值点，那么函数f(x)的极大值为( ) A15 B16 C17 D18 解析：选 D 因为x2 是函数f(x)x33ax2 的极小值点，所以f(2)123a0， 解得a4，所以函数f(x)的解析式为f(x)x312x2，f(x)3x212，由f(x)0， 得x2，故函数f(x)在(2,2)上是减函数，在(，2)，(2，)上是增函数，由 此可知当x2 时，函数f(x)取得极大值f(2)18. 4.(2019合肥模拟)已知函数f(x)x3bx2cx的大致图象如图所示，则
3、xx等于 2 12 2 ( ) A. B. 2 3 4 3 C. D. 8 3 16 3 解析：选 C 由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点， 因此 1bc0,84b2c0， 解得b3，c2， 所以f(x)x33x22x， 所以f(x) - 2 - 3x26x2， 则x1，x2是方程f(x)3x26x20的两个不同的实数根， 因此x1x22，x1x2 ，所以xx(x1x2)22x1x24 . 2 3 2 12 2 4 3 8 3 5若函数f(x)x33a2xa(a0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是 _ 解析：f(x)3x23a23
4、(xa)(xa)， 由f(x)0 得xa， 当aa或x0，函数f(x)单调递增， f(x)的极大值为f(a)，极小值为f(a) f(a)a33a3a0 且f(a)a33a3a. 2 2 a的取值范围是. ( 2 2 ，) 答案：( 2 2 ，) 6(2019长沙调研)已知yf(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)ln xax， (a 1 2) 当x(2,0)时，f(x)的最小值为 1，则a_. 解析：由题意知，当x(0,2)时，f(x)的最大值为1. 令f(x) a0，得x ， 1 x 1 a 当 00；当x 时，f(x)0) 1 x (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)是否存在
5、实数a，使得函数f(x)在1，e上的最小值为 0？若存在，求出a的值；若 不存在，请说明理由 解：由题意，知函数的定义域为x|x0， f(x) (a0) a x 1 x2 ax1 x2 (1)由f(x)0，解得x ， 1 a 所以函数f(x)的单调递增区间是； ( 1 a，) 由f(x)e， 即 0a 时， 函数f(x)在1， e上为减函数， 故函数f(x)的最小值为f(e)aln 1 a 1 e e a 0，即a ，而 0a ，故不满足条件 1 e 1 e 1 e 1 e 综上所述，不存在这样的实数a，使得函数f(x)在1，e上的最小值为 0. 二、专项培优练 (一)易错专练不丢怨枉分 1(
6、2019郑州质检)若函数f(x)x3ax2bxa2在x1 时有极值 10，则a，b的值 为( ) Aa3，b3 或a4，b11 Ba4，b3 或a4，b11 Ca4，b11 D以上都不对 解析：选 C 由题意，f(x)3x22axb， 则f(1)0，即 2ab3. f(1)1aba210，即a2ab9. 联立，解得Error!或Error! 经检验Error!不符合题意，舍去故选 C. 2(2019唐山联考)若函数f(x)x2 ln x1在其定义域内的一个子区间(a1，a1) 1 2 内存在极值，则实数a的取值范围是_ 解析 ： 由题意， 得函数f(x)的定义域为(0， )，f(x)2x， 令
7、f(x)0， 1 2x 4x21 2x 得x， 1 2(x 1 2舍去) 则由已知得Error!解得 1a . 3 2 答案：1，3 2) 3(2019德州质检)已知函数f(x)x3x在(a,10a2)上有最大值，则实数a的取 1 3 - 5 - 值范围是_ 解析：由f(x)x21，知f(x)在(，1)上单调递减，在1,1上单调递增， 在(1，)上单调递减，故函数f(x)在(a,10a2)上存在最大值的条件为Error!其中 f(1)f(a)，即为 1a3a， 1 3 1 3 整理得a33a20，即a313a30， 即(a1)(a2a1)3(a1)0， 即(a1)(a2a2)0，即(a1)2(
8、a2)0， 即Error!解得2a1. 答案：2,1) (二)素养专练学会更学通 4.直观想象已知函数f(x)是 R 上的可导函数，f(x)的导函数 f(x)的图象如图，则下列结论正确的是( ) Aa，c分别是极大值点和极小值点 Bb，c分别是极大值点和极小值点 Cf(x)在区间(a，c)上是增函数 Df(x)在区间(b，c)上是减函数 解析：选 C 由极值点的定义可知，a是极小值点，无极大值点；由导函数的图象可知， 函数f(x)在区间(a，)上是增函数，故选 C. 5.数学建模如图，在半径为 10的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，3 其中A，B在直径上，C，D在圆周上，将所
9、截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱 形罐子的侧面(不计剪裁与拼接损耗)， 记圆柱形罐子的体积为V， 设ADx， 则Vmax_. 解析：设圆柱形罐子的底面半径为r， 由题意得AB22r，10 32x2 所以r， 300x2 所以Vr2x 2x (x3300x)(0x10)， 故V(x2100) ( 300x2 ) 1 3 3 (x10)(x10)(0x10) 3 3 令V0，得x10(负值舍去)， 则V，V随x的变化情况如下表： x(0,10)10(10,10)3 - 6 - V0 V极大值 所以当x10 时，V取得极大值，也是最大值， 所以Vmax. 2 000 答案：2 000
10、 6数学运算设f(x)xln xax2(2a1)x，aR. (1)令g(x)f(x)，求g(x)的单调区间； (2)已知f(x)在x1 处取得极大值，求实数a的取值范围 解：(1)由f(x)ln x2ax2a， 可得g(x)ln x2ax2a，x(0，) 所以g(x) 2a. 1 x 12ax x 当a0，x(0，)时，g(x)0，函数g(x)单调递增； 当a0，x时，g(x)0，函数g(x)单调递增，x时，g(x)0， (0， 1 2a)( 1 2a，) 函数g(x)单调递减 所以当a0 时，g(x)的单调增区间为(0，)； 当a0 时，g(x)的单调增区间为，单调减区间为. (0， 1 2
11、a)( 1 2a，) (2)由(1)知，f(1)0. 当a0 时，f(x)在(0，)内单调递增， 所以当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递减； 当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递增 所以f(x)在x1 处取得极小值，不合题意 当 0a 时，1，由(1)知f(x)在内单调递增，可得当x(0,1)时， 1 2 1 2a(0， 1 2a) f(x)0，当x时，f(x)0. (1， 1 2a) 所以f(x)在(0,1)内单调递减，在内单调递增，所以f(x)在x1 处取得极小值， (1， 1 2a) 不合题意 当a 时，1，f(x)在(0,1)内单调递增， 在(1，)内单调递减， 所以当x(0，) 1 2 1 2a 时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意 - 7 - 当a 时，01，当x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(1，) 1 2 1 2a( 1 2a，1) 时，f(x)0，f(x)单调递减 所以f(x)在x1 处取得极大值，符合题意 综上可知，实数a的取值范围为. ( 1 2，)