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1、- 1 - 课时跟踪检测(十六) 导数与函数的极值、最值课时跟踪检测(十六) 导数与函数的极值、最值 一、题点全面练 1函数f(x)xex,x0,4的最小值为( ) A0 B.1 e C. D. 4 e4 2 e2 解析:选 A f(x), 1x ex 当x0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增, 当x(1,4时,f(x)0,f(x)单调递减, 因为f(0)0,f(4)0,所以当x0 时,f(x)有最小值,且最小值为 0. 4 e4 2若函数f(x)aexsin x在x0 处有极值,则a的值为( ) A1 B0 C1 De 解析:选 C f(x)aexcos x,若函数f(x)aexsin
2、x在x0 处有极值,则 f(0)a10,解得a1,经检验a1 符合题意,故选 C. 3已知x2 是函数f(x)x33ax2 的极小值点,那么函数f(x)的极大值为( ) A15 B16 C17 D18 解析:选 D 因为x2 是函数f(x)x33ax2 的极小值点,所以f(2)123a0, 解得a4,所以函数f(x)的解析式为f(x)x312x2,f(x)3x212,由f(x)0, 得x2,故函数f(x)在(2,2)上是减函数,在(,2),(2,)上是增函数,由 此可知当x2 时,函数f(x)取得极大值f(2)18. 4.(2019合肥模拟)已知函数f(x)x3bx2cx的大致图象如图所示,则
3、xx等于 2 12 2 ( ) A. B. 2 3 4 3 C. D. 8 3 16 3 解析:选 C 由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0),x1,x2是函数f(x)的极值点, 因此 1bc0,84b2c0, 解得b3,c2, 所以f(x)x33x22x, 所以f(x) - 2 - 3x26x2, 则x1,x2是方程f(x)3x26x20的两个不同的实数根, 因此x1x22,x1x2 ,所以xx(x1x2)22x1x24 . 2 3 2 12 2 4 3 8 3 5若函数f(x)x33a2xa(a0)的极大值是正数,极小值是负数,则a的取值范围是 _ 解析:f(x)3x23a23
4、(xa)(xa), 由f(x)0 得xa, 当aa或x0,函数f(x)单调递增, f(x)的极大值为f(a),极小值为f(a) f(a)a33a3a0 且f(a)a33a3a. 2 2 a的取值范围是. ( 2 2 ,) 答案:( 2 2 ,) 6(2019长沙调研)已知yf(x)是奇函数,当x(0,2)时,f(x)ln xax, (a 1 2) 当x(2,0)时,f(x)的最小值为 1,则a_. 解析:由题意知,当x(0,2)时,f(x)的最大值为1. 令f(x) a0,得x , 1 x 1 a 当 00;当x 时,f(x)0) 1 x (1)求函数f(x)的单调区间和极值; (2)是否存在
5、实数a,使得函数f(x)在1,e上的最小值为 0?若存在,求出a的值;若 不存在,请说明理由 解:由题意,知函数的定义域为x|x0, f(x) (a0) a x 1 x2 ax1 x2 (1)由f(x)0,解得x , 1 a 所以函数f(x)的单调递增区间是; ( 1 a,) 由f(x)e, 即 0a 时, 函数f(x)在1, e上为减函数, 故函数f(x)的最小值为f(e)aln 1 a 1 e e a 0,即a ,而 0a ,故不满足条件 1 e 1 e 1 e 1 e 综上所述,不存在这样的实数a,使得函数f(x)在1,e上的最小值为 0. 二、专项培优练 (一)易错专练不丢怨枉分 1(
6、2019郑州质检)若函数f(x)x3ax2bxa2在x1 时有极值 10,则a,b的值 为( ) Aa3,b3 或a4,b11 Ba4,b3 或a4,b11 Ca4,b11 D以上都不对 解析:选 C 由题意,f(x)3x22axb, 则f(1)0,即 2ab3. f(1)1aba210,即a2ab9. 联立,解得Error!或Error! 经检验Error!不符合题意,舍去故选 C. 2(2019唐山联考)若函数f(x)x2 ln x1在其定义域内的一个子区间(a1,a1) 1 2 内存在极值,则实数a的取值范围是_ 解析 : 由题意, 得函数f(x)的定义域为(0, ),f(x)2x, 令
7、f(x)0, 1 2x 4x21 2x 得x, 1 2(x 1 2舍去) 则由已知得Error!解得 1a . 3 2 答案:1,3 2) 3(2019德州质检)已知函数f(x)x3x在(a,10a2)上有最大值,则实数a的取 1 3 - 5 - 值范围是_ 解析:由f(x)x21,知f(x)在(,1)上单调递减,在1,1上单调递增, 在(1,)上单调递减,故函数f(x)在(a,10a2)上存在最大值的条件为Error!其中 f(1)f(a),即为 1a3a, 1 3 1 3 整理得a33a20,即a313a30, 即(a1)(a2a1)3(a1)0, 即(a1)(a2a2)0,即(a1)2(
8、a2)0, 即Error!解得2a1. 答案:2,1) (二)素养专练学会更学通 4.直观想象已知函数f(x)是 R 上的可导函数,f(x)的导函数 f(x)的图象如图,则下列结论正确的是( ) Aa,c分别是极大值点和极小值点 Bb,c分别是极大值点和极小值点 Cf(x)在区间(a,c)上是增函数 Df(x)在区间(b,c)上是减函数 解析:选 C 由极值点的定义可知,a是极小值点,无极大值点;由导函数的图象可知, 函数f(x)在区间(a,)上是增函数,故选 C. 5.数学建模如图,在半径为 10的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD,3 其中A,B在直径上,C,D在圆周上,将所
9、截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱 形罐子的侧面(不计剪裁与拼接损耗), 记圆柱形罐子的体积为V, 设ADx, 则Vmax_. 解析:设圆柱形罐子的底面半径为r, 由题意得AB22r,10 32x2 所以r, 300x2 所以Vr2x 2x (x3300x)(0x10), 故V(x2100) ( 300x2 ) 1 3 3 (x10)(x10)(0x10) 3 3 令V0,得x10(负值舍去), 则V,V随x的变化情况如下表: x(0,10)10(10,10)3 - 6 - V0 V极大值 所以当x10 时,V取得极大值,也是最大值, 所以Vmax. 2 000 答案:2 000
10、 6数学运算设f(x)xln xax2(2a1)x,aR. (1)令g(x)f(x),求g(x)的单调区间; (2)已知f(x)在x1 处取得极大值,求实数a的取值范围 解:(1)由f(x)ln x2ax2a, 可得g(x)ln x2ax2a,x(0,) 所以g(x) 2a. 1 x 12ax x 当a0,x(0,)时,g(x)0,函数g(x)单调递增; 当a0,x时,g(x)0,函数g(x)单调递增,x时,g(x)0, (0, 1 2a)( 1 2a,) 函数g(x)单调递减 所以当a0 时,g(x)的单调增区间为(0,); 当a0 时,g(x)的单调增区间为,单调减区间为. (0, 1 2
11、a)( 1 2a,) (2)由(1)知,f(1)0. 当a0 时,f(x)在(0,)内单调递增, 所以当x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递减; 当x(1,)时,f(x)0,f(x)单调递增 所以f(x)在x1 处取得极小值,不合题意 当 0a 时,1,由(1)知f(x)在内单调递增,可得当x(0,1)时, 1 2 1 2a(0, 1 2a) f(x)0,当x时,f(x)0. (1, 1 2a) 所以f(x)在(0,1)内单调递减,在内单调递增,所以f(x)在x1 处取得极小值, (1, 1 2a) 不合题意 当a 时,1,f(x)在(0,1)内单调递增, 在(1,)内单调递减, 所以当x(0,) 1 2 1 2a 时,f(x)0,f(x)单调递减,不合题意 - 7 - 当a 时,01,当x时,f(x)0,f(x)单调递增,当x(1,) 1 2 1 2a( 1 2a,1) 时,f(x)0,f(x)单调递减 所以f(x)在x1 处取得极大值,符合题意 综上可知,实数a的取值范围为. ( 1 2,)