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1、- 1 - 课时跟踪检测（四十九） 直线与圆、圆与圆的位置关系课时跟踪检测（四十九） 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、题点全面练 1圆x2y22x4y0 与直线 2txy22t0(tR)的位置关系为( ) A相离 B相切 C相交D以上都有可能 解析：选 C 直线 2txy22t0 恒过点(1，2)， 12(2)2214(2)50， 点(1，2)在圆x2y22x4y0 内部， 直线 2txy22t0 与圆x2y22x4y0 相交 2(2018河南八市质检)过点(3,1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则该切 线的方程为( ) A2xy50B.2xy70 Cx2y50Dx2y70 解析
2、： 选 B 由题意，过点(3,1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则点(3,1)在 圆上， 代入可得r25， 圆的方程为(x1)2y25， 则过点(3,1)的切线方程为(x1)(31) y(10)5，即 2xy70. 3 (2019六安模拟)已知过原点的直线l与圆C：x2y26x50 相交于不同的两点A， B，且线段AB的中点坐标为D(2，)，则弦长为( )2 A2B.3 C4D5 解析：选 A 将圆C：x2y26x50，整理，得其标准方程为(x3)2y24，圆C 的圆心坐标为(3,0)， 半径为 2.线段AB的中点坐标为D(2，)， |CD|， |AB|2123 22.故选 A.4
3、3 4已知圆O1的方程为x2(y1)26，圆O2的圆心坐标为(2,1)若两圆相交于A，B两 点，且|AB|4，则圆O2的方程为( ) A(x2)2(y1)26 B(x2)2(y1)222 C(x2)2(y1)26 或(x2)2(y1)222 D(x2)2(y1)236 或(x2)2(y1)232 解析 ： 选C 设圆O2的方程为(x2)2(y1)2r2(r0) 因为圆O1的方程为x2(y1)2 6， 所以直线AB的方程为4x4yr2100.圆心O1到直线AB的距离d， 由d222 |r214| 4 2 6， 得2， 所以r2148，r26 或 22.故圆O2的方程为(x2)2(y1)26 r2
4、142 32 - 2 - 或(x2)2(y1)222. 5 (2018全国卷)直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点， 点P在圆(x2)2y2 2 上，则ABP面积的取值范围是( ) A2,6B.4,8 C，3D2，32222 解析：选 A 设圆(x2)2y22 的圆心为C，半径为r，点P到直线xy20 的距离 为d，则圆心C(2,0)，r，所以圆心C到直线xy20 的距离为2，2 |22| 2 2 可得dmax2r3，dmin2r.2222 由已知条件可得|AB|2，2 所以ABP面积的最大值为 |AB|dmax6， 1 2 ABP面积的最小值为 |AB|dmin2. 1 2 综上，AB
5、P面积的取值范围是2,6 6若直线l：ykx1 被圆C：x2y22x30 截得的弦最短，则直线l的方程是 _ 解析：依题意，直线l：ykx1 过定点P(0,1)圆C：x2y22x30 化为标准方程 为(x1)2y24.故圆心为C(1,0)，半径为r2.则易知定点P(0,1)在圆内由圆的性质可 知当PCl时， 直线l：ykx1 被圆C：x2y22x30 截得的弦最短 因为kPC 10 01 1，所以直线l的斜率k1，即直线l的方程是xy10. 答案：xy10 7已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：yx1 被圆C所截得的弦 长为 2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为_2 解
6、析：由题意，设所求的直线方程为xym0，圆心坐标为(a,0)(a0)， 则由题意知 22(a1)2， ( |a1| 2) 解得a3 或1(舍去)， 故圆心坐标为(3,0)， 因为圆心(3,0)在所求的直线上， 所以 30m0， 解得m3， 故所求的直线方程为xy30. 答案：xy30 8已知直线xya0 与圆C：x2y22x4y40 相交于A，B两点，且ACBC， - 3 - 则实数a的值为_ 解析：由x2y22x4y40 得(x1)2(y2)29， 所以圆C的圆心坐标为C(1,2)，半径为 3， 由ACBC，可知ABC是直角边长为 3 的等腰直角三角形， 故可得圆心C到直线xya0 的距离为
7、， 3 2 2 由点到直线的距离公式可得， |12a| 2 3 2 2 解得a0 或a6. 答案：0 或 6 9已知圆C经过点A(2，1)，与直线xy1 相切，且圆心在直线y2x上 (1)求圆C的方程； (2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为 2，求直线l的方程 解：(1)设圆心的坐标为C(a，2a)， 则.a222a12 |a2a1| 2 化简，得a22a10，解得a1. C(1，2)，半径r|AC|.1222122 圆C的方程为(x1)2(y2)22. (2)当直线l的斜率不存在时， 直线l的方程为x0， 此时直线l被圆C截得的弦长为 2， 满足条件 当直线l的斜率存在时，设直线
8、l的方程为ykx，由题意得1，解得k ， |k2| 1k2 3 4 直线l的方程为yx，即 3x4y0. 3 4 综上所述，直线l的方程为x0 或 3x4y0. 10已知以点C为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为坐 (t， 2 t) 标原点 (1)求证：OAB的面积为定值； (2)设直线y2x4 与圆C交于点M，N，若|OM|ON|，求圆C的方程 解：(1)证明：由题意知圆C过原点O，半径r|OC|. |OC|2t2， 4 t2 设圆C的方程为(xt)2 2t2 . (y 2 t) 4 t2 令y0，得x10，x22t，则A(2t,0) - 4 - 令x0，得y10，y2
9、 ，则B. 4 t(0， 4 t) SOAB |OA|OB| |2t|4， 1 2 1 2| 4 t| 即OAB的面积为定值 (2)|OM|ON|，|CM|CN|， OC垂直平分线段MN. kMN2，kOC ，直线OC的方程为yx. 1 2 1 2 t，解得t2 或t2. 2 t 1 2 当t2 时，圆心C的坐标为(2,1)，r|OC|，5 此时圆心C到直线y2x4 的距离d， 1 5 5 圆C与直线y2x4 相交于两点 当t2 时，圆心C的坐标为(2，1)，r|OC|，5 此时圆心C到直线y2x4 的距离d， 9 5 5 圆C与直线y2x4 不相交 圆C的方程为(x2)2(y1)25. 二、
10、专项培优练 (一)易错专练不丢怨枉分 1设圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于( ) A4B.4 2 C8D8 2 解析：选 C 因为圆C1，C2和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆都在第一象限内， 设圆心坐标为(a，a)， 则|a|， 解得a52或a52， 可取C1(5a42a1222 2，52)，C2(52，52)，故|C1C2|8，故选 C.22224 224 22 2 已知圆C： (x)2(y1)21 和两点A(t,0)，B(t,0)(t0)， 若圆C上存在点P，3 使得APB90，则实数t的最小值为( ) A4B.3 C2D1 解析
11、：选 D 由APB90得，点P在圆x2y2t2上，因此由两圆有交点得|t 1|OC|t1|t1|2t11t3，即t的最小值为 1. 3已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,3)，B(2，1)，C(6，1)，以原点为 圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为( ) - 5 - Ax2y21B.x2y24 Cx2y2Dx2y21 或x2y237 16 5 解析：选 D 如图所示，A(2,3)，B(2，1)，C(6，1) 过A，C的直线方程为，化为一般式为x2y40.点O y1 31 x6 26 到直线x2y40 的距离d1， |4| 5 4 5 5 又|OA|，|OB|，|OC|22321
12、3221256212 .37 以原点为圆心的圆若与ABC有唯一的公共点，则公共点为(0，1)或(6，1)，圆 的半径分别为 1 或，则圆的方程为x2y21 或x2y237.37 4过点A(3,5)作圆C：x2y22x4y10 的切线，则切线的方程为_ 解 析 ： 圆C的 标 准 方 程 为 (x 1)2 (y 2)2 4， 其 圆 心 为 (1,2)， |CA| 2，点A(3,5)在圆外显然，当切线斜率不存在时，直线与31252213 圆相切，即切线方程为x30，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y5k(x3)， 即kxy53k0.又圆心为(1,2)， 半径r2， 而圆心到切线的距离d2，
13、即|3 |32k| k21 2k|2，k，故所求切线方程为 5x12y450 或x30.k21 5 12 答案：5x12y450 或x30 5已知圆M： (x1)2(y1)24，直线l：xy60，A为直线l上一点，若圆M上 存在两点B，C，使得BAC60，则点A的横坐标的取值范围为_ 解析：由题意知，过点A的两直线与圆M相切时，夹角最大，当BAC60时，|MA| 4.设A(x，6x)，所以(x1)2(6x1)216，解得x1 或x5， |MB| sinBAM 2 sin 30 因此点A的横坐标的取值范围为1,5 答案：1,5 (二)难点专练适情自主选 6已知圆H被直线xy10，xy30 分成面
14、积相等的四部分，且截x轴所得线 段的长为 2. (1)求圆H的方程； (2)若存在过点P(a,0)的直线与圆H相交于M，N两点，且|PM|MN|，求实数a的取值 范围 解：(1)设圆H的方程为(xm)2(yn)2r2(r0)， 因为圆H被直线xy10，xy30 分成面积相等的四部分，所以圆心H(m，n)一 - 6 - 定是两互相垂直的直线xy10，xy30 的交点，易得交点坐标为(2,1)， 所以m2，n1. 又圆H截x轴所得线段的长为 2，所以r212n22. 所以圆H的方程为(x2)2(y1)22. (2)设N(x0，y0)，由题意易知点M是PN的中点， 所以M. ( x0a 2 ，y 0
15、 2) 因为M，N两点均在圆H上，所以(x02)2(y01)22， 222， ( x0a 2 2) ( y0 2 1) 即(x0a4)2(y02)28， 设圆I：(xa4)2(y2)28， 由知圆H与圆I有公共点， 从而 2|HI|2，2222 即3，2a221222 整理可得 2a24a518， 解得 2a1 或 3a2，1717 所以实数a的取值范围是2，13,21717 7已知圆C经过点A，B，直线x0 平分圆C，直线l与圆C相切， ( 7 4 ，17 4)( 31 8 ，33 8) 与圆C1：x2y21 相交于P，Q 两点，且满足OPOQ. (1)求圆C的方程； (2)求直线l的方程
16、解 ： (1)依题意知圆心C在y轴上，可设圆心C的坐标为(0，b)，圆C的方程为x2(yb)2r2(r 0) 因为圆C经过A，B两点， 所以 2222， ( 7 4)( 17 4 b) ( 31 8)( 33 8 b) 即bb2bb2，解得b4. 7 16 289 16 17 2 31 64 1 089 64 33 4 则r2 22 ， ( 7 4)( 17 4 4) 1 2 所以圆C的方程为x2(y4)2 . 1 2 (2)当直线l的斜率不存在时，由l与C相切得l的方程为x，此时直线l与C1交 2 2 - 7 - 于P，Q两点，不妨设P点在Q点的上方，则P，Q或P，Q，则 ( 2 2 ， 2
17、 2) ( 2 2 ， 2 2)( 2 2 ， 2 2) ( 2 2 ， 2 2) OP 0，所以OPOQ，满足题意OQ 当直线l的斜率存在时，易知其斜率不为 0， 设直线l的方程为ykxm(k0，m0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将直线l的方程与圆C1的方程联立，得Error!消去y，整理得(1k2)x22kmxm210， 则4k2m24(1k2)(m21)4(k2m21)0， 即 1k2m2，则x1x2，x1x2， 2km 1k2 m21 1k2 所以y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2m2 k2m21 1k2 2k2m2 1k2 m2k2 1k2 ， 又OPOQ，所以0，OP OQ 即x1x2y1y20， m21 1k2 m2k2 1k2 故 2m21k2，满足0，符合题意 因为直线l：ykxm与圆C：x2(y4)2 相切， 1 2 所以圆心C(0,4)到直线l的距离d， |m4| 1k2 2 2 即m28m16，故m28m16m2，得m2， 1k2 2 故 1k28，得k.7 故直线l的方程为yx2.7 综上，直线l的方程为x或yx2. 2 2 7