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1、1 课时跟踪检测（三十六） 空间几何体的表面积与体积课时跟踪检测（三十六） 空间几何体的表面积与体积 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1(2018徐州高三年级期中考试)各棱长都为 2 的正四棱锥的体积为_ 解析：由题意得，底面对角线长为 2，所以正四棱锥的高为，所以222 222 正四棱锥的体积VSh 22. 1 3 1 3 2 4 2 3 答案： 4 2 3 2(2018苏锡常镇调研)设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半 径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若，则的值为_ V1 V2 3 S1 S2 解析：法一：由题意知V1a3，S16a2， V2 r3，S
2、2r2， 1 3 2 由得， V1 V2 3 a3 1 3r 3 3 得ar，从而. S1 S2 3 2 法二：不妨设V127，V29，故V1a327，即a3，所以S16a254. 如图所示， 又V2hr2 r39， 即r3， 所以lr， 即S2l2r 1 3 1 3 2 1 2 2 r29，2 所以. S1 S2 54 9 2 3 2 答案： 3 2 3(2018南京二模)如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，AA16.若E，F 分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥AA1EF的体积是_ 解析：因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BB1，AA1平面AA1C1C，BB1 平面AA1
3、C1C，所以BB1平面AA1C1C， 从而点E到平面AA1C1C的距离就是点B 到平面AA1C1C的距离， 作BHAC， 垂足为点H， 由于ABC是正三角形且边长为 4， 所以BH2 ， 从而三棱锥AA1EF的体积VAA1EFVEA1AF SA1AFBH 6428.3 1 3 1 3 1 2 33 2 答案：8 3 4(2018海安期中)如图，在棱长为 2 的正方体ABCD A1B1C1D1 中，O为底面ABCD的中心，则三棱锥O A1BC1的体积为_ 解析：连结AC，因为几何体是正方体， 所以BO平面A1OC1， BO是三棱锥B A1OC1的高， 则三棱锥O A1BC1的体积为 22 . 1
4、 3 1 2 22 4 3 答案：4 3 5(2018盐城模拟)若一圆锥的底面半径为 1，其侧面积是底面积的 3 倍，则该圆锥 的体积为_ 解析：设圆锥的母线长为l，高为h，则 1l312，解得l3， 则h 2，32122 故该圆锥的体积V 122. 1 3 2 2 2 3 答案：2 2 3 6 (2018苏锡常镇一调)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P 是棱BB1的中点， 则四棱锥PAA1C1C的体积为_ 解析：四棱锥PAA1C1C可看作：半个正方体割去三棱锥PABC和 PA1B1C1. 所以VPAA1C1CVABCDA1B1C1D1VPABCVPA1B1C1 . 1 2 1
5、 2 1 12 1 12 1 3 答案：1 3 二保高考，全练题型做到高考达标 1(2019扬州模拟)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3，圆 台的侧面积为 84，则圆台较小底面的半径为_ 解析：设圆台较小底面半径为r， 则另一底面半径为 3r. 由S(r3r)384，解得r7. 答案：7 2(2018常州期中)如图，一个实心六角螺帽毛坯(正六棱柱)的底 边长为 4，高为 3， 若在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的 3 半径为_ 解析：设孔的半径为r， 此正六棱柱的底边长为 4， 高为 3，在中间钻一个圆柱形孔 后其 表面积没有变化，2r22r3，解得r3，孔
6、的半径为 3. 答案：3 3(2018常州期末)以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆 锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积的比值为 _ 解析：如图，由题意可得圆柱的侧面积为S12rh2r2. 圆锥的母线lr，h2r22 故圆锥的侧面积为S2 2rlr2， 1 2 2 所以S2S12.2 答案： 2 2 4 (2018苏北四市一模)将斜边长为 4 的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周， 则所形成的几何体的体积是_ 解析：因为等腰直角三角形的斜边长为 4，所以斜边上的高为 2，故旋转后的几何体为 两个大小相等的圆锥的组合体， 圆锥的底面半径为
7、2， 高为 2， 因此， 几何体的体积为V2 222. 1 3 16 3 答案： 16 3 5(2018泰州中学高三学情调研)在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为AA1中点，Q 为CC1 的中点，AB2，则三棱锥BPQD的体积为_ 解析：如图， 连结PQ， 则PQAC， 取PQ 的中点G， 连结BG，DG， 可得BGPQ，DGPQ， 又BGDGG，则PQ平面BGD，在RtBPG中，由BP，PG，可得BG，同理可得DG523 ，则BDG边BD上的高为1，所以SBDG 21，则VBPQD3 32 22 1 2 22 2 . 1 3 22 4 3 答案：4 3 6(2019盐城检测)有一个用橡皮
8、泥制作的半径为 4 的球，现要将该球所用的橡皮泥 制作成一个圆柱和一个圆锥， 使圆柱和圆锥有相同的底面半径和相等的高， 若它们的高为 8， 则它们的底面半径为_ 4 解析：由已知可得球的体积为V 43.设圆柱和圆锥的底面半径为r，则圆 4 3 256 3 柱和圆锥的体积和为 8r2 r2，解得r2. 8 3 256 3 2 答案：2 2 7(2018启东调研)如图，RtABC的外接圆O的半径为5，CE垂直于O所在的 平面，BDCE，CE4，BD2，ED2， 若M为ED的中点，则VMACB_.10 解析：如图，过D作DHCE于H，则BCDH，在RtEDH中，由ED2，EHECDB2，10 得BC
9、DH6，所以在 RtABC中，AB10，BC6，所以AC8，即SABC24， 又因为CE垂直于O所在的平面，BDCE，M为ED的中点，所以M到平面ABC 的距离为3，所以VMACBSABC324. 1 3 答案：24 8 (2018连云港调研)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面 边长为 2，则该球的表面积为_2 解析：如图，正四棱锥PABCD的外接球的球心O在它的高PO1 上，设球的半径为R，因为底面边长为 2，所以AC4.在 RtAOO12 中，R2(4R)222， 所以R ，所以球的表面积S4R225. 5 2 答案：25 9(2018苏州期末)如图，在体积为V1的
10、圆柱中挖去以圆柱上下底面 为底面、共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为V2，则_. V2 V1 解析：设圆锥与圆柱的底面面积为S，高为h， 所以V1Sh，V2ShShSh，则 . 1 3 2 3 V2 V1 2 3 答案：2 3 10一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并 向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切将球取出后，容器内的水深是多少？ 解 ： 如图，作轴截面，设球未取出时，水面高PCh，球取出后， 水面高PHx.根据题设条件可得ACr，PC3r，则以AB为底面直径3 的圆锥容积为V圆锥 AC2PC (r)23r3r3. 1 3 1 3 3 5 V球 r3.
11、 4 3 球取出后，水面下降到EF，水的体积为 V水 EH2PH (PHtan 30)2PH x3. 1 3 1 3 1 9 又V水V圆锥V球，则 x33r3 r3， 1 9 4 3 解得xr.故球取出后，容器内水深为r. 3 15 3 15 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1已知直三棱柱ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112， 则球O的半径为_ 解析：如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AMBC 1 2 1 2 3242 ，OMAA16， 所以球O的半径ROA . 5 2 1 2 ( 5 2) 262 13 2 答案：13
12、 2 2三棱锥PABC中，PA平面ABC且PA2，ABC是边长为的等边三角形，则该三3 棱锥外接球的表面积为_ 解析 ： 由题意得， 此三棱锥外接球即为以ABC为底面、 以PA为高的正三棱柱的外接球， 因为ABC的外接圆半径r 1， 外接球球心到ABC的外接圆圆心的距离d1，所 3 2 3 2 3 以外接球的半径R， 所以三棱锥外接球的表面积S4R28.r2d22 答案：8 3如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何 体，截面为ABC， 已知A1B1B1C12，A1B1C190，AA14，BB13，CC12， 求： (1)该几何体的体积 (2)截面ABC的面积 解：(1)过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C， 交AA1，BB1分别于点A2，B2. 由直三棱柱性质及A1B1C190可知B2C平面ABB2A2， 则该几何 体的体积VVA1B1C1A2B2CVCABB2A2 222 (12)22 1 2 1 3 1 2 6. (2)在ABC中，AB，224325 6 BC，223225 AC2.2 224223 则SABC 2. 1 2 3 52 326