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1、1 课时跟踪检测（三十） 等比数列课时跟踪检测（三十） 等比数列 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1(2019如东中学检测)已知等比数列an的公比q ，则_. 1 2 a1a3a5 a2a4a6 解析：2. a1a3a5 a2a4a6 a1a3a5 qa1a3a5 a1a3a5 1 2a 1a3a5 答案：2 2 (2018盐城期中)在等比数列an中， 已知a1a21，a3a42， 则a9a10_. 解析 ： 设等比数列an的公比为q， 则a3a4q2(a1a2)， 所以q22， 所以a9a10q8(a1 a2)16. 答案：16 3 (2018苏州期末)设各项均为正数的等比数列的前n项和为S
2、n， 已知a26，a3an 3a112，则S5_. 解析：a26，a33a112， Error!且q0， 解得a12，q3， S5242. 2135 13 答案：242 4在等比数列an中，若a1a516，a48，则a6_. 解析：由题意得，a2a4a1a516， 所以a22，所以q24，所以a6a4q232. a4 a2 答案：32 5(2019南京一模)若等比数列的前n项和为Sn，且a11，S63S3，则a7的值an 为_ 解析：设等比数列的公比为q，an 因为a11，S63S3， 当q1 时，不满足S63S3； 当q1 时，可得， q61 q1 3q31 q1 化简得q313，即q32，
3、 所以a7a1q64. 答案：4 6 (2018常州期末)已知等比数列an的各项均为正数， 且a1a2 ，a3a4a5a6 4 9 2 40，则的值为_ a7a8a9 9 解析 ：Error!两式相除可得q2q490，即q210(舍)或q29.又an0，所以q3， 故a1 ，所以a7a8a93435361 053，即117. 1 9 a7a8a9 9 答案：117 二保高考，全练题型做到高考达标 1(2018徐州期末)设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若S2是S3与S4的等an 差中项，则实数q的值为_ 解析：S2是S3与S4的等差中项， 2S2S3S4，2a3a40， 解得q2. 答案：
4、2 2 (2019如皋模拟)已知数列是正项等比数列， 满足 log2an11log2an(nN*)，an 且a1a2a3a4a52，则 log2(a51a52a53a54a55)_. 解析：log2an11log2an， log21，可得q2. an1 an a1a2a3a4a52， log2(a51a52a53a54a55) log2(a1a2a3a4a5)q50log225151. 答案：51 3设等比数列的公比为q(0q1)，前n项和为Sn.若存在mN*，使得am an am2am1，且Sm1 022am1，则m的值为_ 5 2 解析：amam2am1，Sm1 022am1， 5 2 E
5、rror! 解得m9，q . 1 2 答案：9 4 (2018启东检测)数列an满足an1an1(nN*，R且0)， 若数列an1 是等比数列，则_. 解析：由an1an1，得an11an2. (a n 2 ) 因为数列an1是等比数列，所以1，得2. 2 答案：2 3 5(2019姜堰模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn，且，则_. S3 S6 27 28 a5 a3 解析：设等比数列an的公比为q，由， S3 S6 27 28 得q1，化简得，解得q . a11q3 1q a11q6 1q 27 28 1 1q3 27 28 1 3 所以q2 . a5 a3 1 9 答案：1 9 6(2
6、018海安中学测试)在各项均为正数的等比数列an中，若am 1am 1 2am(m2)，数列an的前n项积为Tn，若T2m1512，则m_. 解析：由等比数列的性质可知am1am1a2am(m2)，所以am2，即数列an为 2m 常数列，an2，所以T2m122m151229，即 2m19，所以m5. 答案：5 7已知数列an中，a12，且4(an1an)(nN*)，则其前 9 项和S9_. a 2n1 an 解析：由已知，得a4anan14a， 2n12n 即a4anan14a(an12an)20， 2n12n 所以an12an， 所以数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 故S92
7、1021 022. 2 129 12 答案：1 022 8 (2019徐州调研)已知正项等比数列的前n项和为Sn且S82S46， 则a9a10an a11a12的最小值为_ 解析：因为S82S46，所以S8S4S46. 由等比数列的性质可得，S4，S8S4，S12S8成等比数列， 所以S4(S12S8)(S8S4)2， 所以a9a10a11a12S12S8S41224， 当且仅当S46 时等号 S462 S4 36 S4 成立 故a9a10a11a12的最小值为 24. 答案：24 9在公差不为零的等差数列an中，a11，a2，a4，a8成等比数列 (1)求数列an的通项公式； 4 (2)设b
8、n2an，Tnb1b2bn，求Tn. 解：(1)设等差数列an的公差为d， 则依题意有Error! 解得d1 或d0(舍去)， 所以an1(n1)n. (2)由(1)得ann， 所以bn2n， 所以2， bn1 bn 所以bn是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 所以Tn2n12. 212n 12 10 (2018苏州高三期中调研)已知数列an各项均为正数，a11，a22， 且anan3an 1an2对任意nN*恒成立，记an的前n项和为Sn. (1)若a33，求a5的值； (2)证明：对任意正实数p，a2npa2n1成等比数列； (3)是否存在正实数t，使得数列Snt为等比数列若存在，求出
9、此时an和Sn的表 达式；若不存在，说明理由 解：(1)因为a1a4a2a3，所以a46， 又因为a2a5a3a4，所以a5a49. 3 2 (2)证明：由Error! 两式相乘得anan1an3an4an1aan3， 2n2 因为an0，所以anan4a(nN*)， 2n2 从而an的奇数项和偶数项均构成等比数列， 设公比分别为q1，q2，则a2na2q2q，a2n1a1qq， n12n12n11n11 又因为，所以2，即q1q2， an3 an2 an1 an a4 a3 a2 a1 2q2 q1 设q1q2q，则a2npa2n1q(a2n2pa2n3)，且a2npa2n10 恒成立， 所
10、以数列a2npa2n1是首项为 2p，公比为q的等比数列 (3)法一：在(2)中令p1，则数列a2na2n1是首项为 3，公比为q的等比数列， 所以S2k(a2ka2k1)(a2k2a2k3)(a2a1)Error! S2k1S2ka2kError! 且S11，S23，S33q，S433q， 因为数列Snt为等比数列， 所以Error! 5 即Error!即Error! 解得Error!或Error!(舍去) 所以S2k4k122k1，S2k122k11， 从而对任意nN*有Sn2n1， 此时Snt2n，2 为常数，满足Snt成等比数列， Snt Sn1t 当n2 时，anSnSn12n2n1
11、2n1，又a11，所以an2n1(nN*)， 综上，存在t1 使数列Snt为等比数列，此时an2n1，Sn2n1(nN*) 法二：由(2)知a2n2qn1，a2n1qn1，且S11，S23，S33q，S433q， 因为数列Snt为等比数列， 所以Error! 即Error!即Error! 解得Error!或Error!(舍去) 所以a2n2qn122n1，a2n122n2，从而对任意nN*有an2n1， 所以Sn2021222n12n1， 12n 12 此时Snt2n，2 为常数，满足Snt成等比数列， Snt Sn1t 综上，存在t1 使数列Snt为等比数列，此时an2n1，Sn2n1(nN
12、*). 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1 各项均为正数的等比数列an中， 若a11，a22，a33， 则a4的取值范围是_ 解析：设an的公比为q，则根据题意得q， a2 a1 a3 a2 q2，a4a3q ，a4a2q28，a4. 3 2 9 2 9 2，8 答案：9 2，8 2 (2018泰州中学高三学情调研)设正项等比数列an满足2a5a3a4， 若存在两项an， am，使得a14，则mn_.anam 解析 ： 设等比数列an的公比为q.正项等比数列an满足 2a5a3a4， 则 2a3q2a3(1 q)， 可得 2q2q10，q0， 解得q ， 若存在两项an，am， 使得a14，
13、可得a14 1 2 anam ，所以mn6.a2 1(1 2) mn2 答案：6 3(2019苏锡常镇调研)已知数列an的前n项和为Sn，a13，且对任意的正整数n， 6 都有Sn1Sn3n1，其中常数0.设bn(nN*) an 3n (1)若3，求数列的通项公式；bn (2)若1 且3，设cnan3n(nN*)，证明数列是等比数列； 2 3 cn (3)若对任意的正整数n，都有bn3，求实数的取值范围 解：因为Sn1Sn3n1，nN*， 所以当n2 时，SnSn13n， 从而an1an23n，n2，nN* 在Sn1Sn3n1中，令n1，可得a2a1231，满足上式， 所以an1an23n，n
14、N*. (1)当3 时， an13an23n，nN*， 从而 ，即bn1bn ， an1 3n1 an 3n 2 3 2 3 又b11，所以数列是首项为 1，公差为 的等差数列， a1 3 bn 2 3 所以bn1(n1) . 2 3 2n1 3 (2)证明：当0 且3 且1 时， cnan3nan123n13n 2 3 2 3 an13n1(33) 2 3 cn1， (a n1 2 33 n1) 又c130， 6 3 31 3 所以是首项为，公比为的等比数列，cn 31 3 故cnn1. 31 3 (3)在(2)中， 若1， 则cn0也可使an有意义， 所以当3时，cnn 31 3 1. 从而由(1)和(2)可知 anError! 当3 时，bn，显然不满足条件，故3. 2n1 3 7 当3 时，bn n1 . 1 3( 3) 2 3 若3, 0，bnbn1，nN*，bn1，)，不符合，舍去 1 3 若 01，0，0，bnbn1，nN*，且bn0. 1 3 2 3 所以只需b113 即可，显然成立 a1 3 故 01 符合条件； 若1，bn1，满足条件故1 符合条件； 若 13，0，0， 1 3 2 3 从而bnbn1，nN*， 因为b110.故bn， 1， 2 3) 要使bn3 恒成立，只需3 即可 2 3 所以 1 . 7 3 综上所述，实数的取值范围是. (0， 7 3