《江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测四十二空间向量的综合应用理含解析苏教版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测四十二空间向量的综合应用理含解析苏教版.pdf（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1 课时跟踪检测（四十二） 空间向量的综合应用课时跟踪检测（四十二） 空间向量的综合应用 一保高考，全练题型做到高考达标 1.(2019海安检测)如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1AD 1，E为CD的中点 (1)求证：B1EAD1； (2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在， 求AP的长；若不存在， 说明理由 (3)若二面角AB1EA1的大小为 30，求AB的长 解：(1)证明：以A为坐标原点， 的方向分别为xAB AD AA1 轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 设ABa， 则 A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，
2、B1(a,0,1)， ( a 2，1，0) 故(0,1,1)，.AD1 B1E ( a 2，1，1) 0110，即B1EAD1.B1E AD1 B1E AD1 (2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)， 使得DP平面B1AE， 此时(0， 1，z0)DP 由(1)知，(a,0,1)，.AB1 AE ( a 2，1，0) 设平面B1AE的法向量为n(x，y，z) 则Error!即Error! 取x1，得平面B1AE的一个法向量 n. (1， a 2，a) 要使DP平面B1AE，只要 n，即 az00，DP a 2 解得z0 . 1 2 又DP平面B1AE， 在棱AA1上存在一点P，满足D
3、P平面B1AE，此时AP . 1 2 (3)连结A1D，B1C，由长方体ABCD A1B1C1D1及AA1AD1，得AD1A1D. B1CA1D，AD1B1C. 又由(1)知B1EAD1，且B1CB1EB1， AD1平面DCB1A1. 是平面A1B1E的一个法向量，此时(0,1,1)AD1 AD1 2 则 cosn， .AD1 n |n| a 2a 2 1a 2 4 a2 二面角AB1EA1的大小为 30， ，解得a2， 3a 2 2 15a 2 4 3 2 即AB的长为 2. 2 (2018南京学情调研)如图，在底面为正方形的四棱锥PABCD 中，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是线段PC
4、的中点 (1)求异面直线AP与BE所成角的大小； (2)若点F在线段PB上，且使得二面角FDEB的正弦值为，求 3 3 的值 PF PB 解 ： (1)在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为正方形， 侧棱PD底 面ABCD， 所以DA，DC，DP两两垂直，故以，为正交DA DC DP 基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 因为PDDC，所以DADCDP， 不妨设DADCDP2， 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0) 因为E是PC的中点，所以E(0,1,1)， 所以(2,0,2)，(2，1,1)，AP BE 所以 cos，AP BE |
5、 3 2 从而，.AP BE 6 因此异面直线AP与BE所成角的大小为. 6 (2)由(1)可知，(0,0,2)，(0,1,1)，(2,2,0)，(2,2，2)DP DE DB PB 设，则(2，2，2)，PF PB PF 从而(2，2，22)DF DP PF 设m(x1，y1，z1)为平面DEF的法向量， 3 则Error!即Error! 取z1，则y1，x121. 故m(21，)为平面DEF的一个法向量， 设n(x2，y2，z2)为平面DEB的法向量， 则Error!即Error! 取x21，则y21，z21. 所以 n(1，1,1)为平面BDE的一个法向量 因为二面角FDEB的正弦值为，
6、 3 3 所以二面角FDEB的余弦值的绝对值为， 6 3 即|cosm，n|， |mn| |m|n| |41| 3 21222 6 3 化简得 421. 因为点F在线段PB上，所以 01， 所以 ，即 . 1 2 PF PB 1 2 3(2018常州期末)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面ADD1A1 底面ABCD，D1AD1D，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD2 2AB2BC2. (1)在平面ABCD内找一点F，使得D1F平面AB1C； (2)求二面角CB1AB的余弦值 解：(1)取A1D1的中点E，因为D1AD1D，所以D1AA1A， 所以AEA1D1. 又
7、A1D1AD，所以AEAD. 因为侧面ADD1A1底面ABCD，侧面ADD1A1底面ABCDAD，AE 侧面ADD1A1， 所以AE平面ABCD. 则以A为原点，以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐 标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D1(0,1,1)，B1(1，1,1)，设F(a，b,0)， 则(a，b1，1)， (1,1,0)，(1，1,1)，D1F AC AB1 因为D1F平面AB1C， 所以Error!即Error!得ab ， 1 2 所以F，即F为AC的中点 ( 1 2， 1 2，0) 4 所以存在AC的中点F，使D1F平面
8、AB1C. (2)由(1)可取平面B1AC的一个法向量n1.D1F ( 1 2， 1 2，1) 设平面B1AB的法向量n2(x，y，z)，因为(1,0,0)，AB 所以Error!即Error!令y1，得 n2(0,1,1) 则 cosn1，n2. 3 2 3 2 2 3 2 由图知二面角CB1AB为锐角， 所以二面角CB1AB的余弦值为. 3 2 4(2019 苏北四市一模 )如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，ABCBAD90，ADAP 4，ABBC2，M为PC的中点 (1)求异面直线AP与BM所成角的余弦值； (2)点N在线段AD上，且AN，若直线MN与平面PBC所成角的 正
9、弦值为 ，求的值 4 5 解：(1)因为PA平面ABCD， 且AB平面ABCD，AD平面ABCD， 所以PAAB，PAAD. 又因为BAD90，所以PA，AB，AD两两垂直 以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4) 又因为M为PC的中点，所以M(1,1,2) 所以(0,0,4)，(1,1,2)，AP BM 所以 cos，AP BM | 8 4 6 6 3 所以异面直线AP与BM所成角的余弦值为. 6 3 (2)因为AN，所以N(0，0)(0
10、4)， 则(1，1，2)，(0,2,0)，(2,0，4)MN BC PB 设平面PBC的法向量为 m(x，y，z)， 则Error!即Error!令x2，得y0，z1， 所以m(2,0,1)是平面PBC的一个法向量， 5 因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为 ， 4 5 所以|cos，m| ，解得10,4，MN |m| |m| |22| 512 5 4 5 所以的值为 1. 二上台阶，自主选做志在冲刺名校 (2018无锡期末)如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD1，D1D2， 点P为棱CC1的中点 (1)设二面角AA1BP的大小为，求 sin 的值； (2)设M为线段A1B上的一
11、点，求的取值范围 AM MP 解：(1)如图，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz， 则A(1,0,0)，A1(1,0,2)，P(0,1,1)，B(1，1,0)， 所以(1，1,1)，(1,0，1)，PA1 PB 设平面PA1B的法向量为 m(x，y，z)， 则Error!即Error! 令x1，得 m(1,2,1) 又平面AA1B的一个法向量 n(1,0,0)，DA 所以 cosn，m， nm |n|m| 6 6 则 sin . 30 6 (2)设M(x，y，z)，因为M在A1B上，所以，BM BA1 即(x1，y1，z)(0，1,2)(01)， 所以M(1,1，2)， 所以(0，1，2)，(1，12)，MA MP 所以 ， AM MP 1242 12122 5221 5242 1 21 5242 令 21t1,1，则， 21 5242 4t 5t22t5 当t1,0)时， 4t 5t22t5 4 5t5 t2 1 2，0) 6 当t(0,1时， 4t 5t22t5 4 5t5 t2 (0， 1 3 当t0 时，0，所以， 4t 5t22t5 4t 5t22t5 1 2， 1 3 则. AM MP 2 2 ， 2 3 3