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1、1 课时跟踪检测（四十四） 两条直线的位置关系课时跟踪检测（四十四） 两条直线的位置关系 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1(2019苏州调研)已知点A(1,3)关于直线l的对称点为B(5，1)，则直线l的方 程为_ 解析：已知点A(1,3)关于直线l的对称点为B(5,1)，故直线l为线段AB的中垂 线求得AB的中点为(2,2)，AB的斜率为 ，故直线l的斜率为3，故直线l 13 51 1 3 的方程为 y23(x2)，即 3xy40. 答案：3xy40 2(2018宿迁模拟)过点(1,0)且与直线x2y20 垂直的直线方程是_ 解析：因为直线x2y20 的斜率为 ，所以所求直线的斜率k2.所
2、以所求直线 1 2 的方程为y02(x1)，即 2xy20. 答案：2xy20 3直线y3x3 关于直线l：xy20 对称的直线方程为_ 解析：取直线y3x3 上一点A(0,3)， 设A关于直线l：xy20 对称的点为A(a，b)， 则有Error!解得a5，b2. A(5，2) 联立Error!解得x ，y . 5 2 9 2 令M， ( 5 2， 9 2) 直线y3x3 关于直线l对称的直线过A，M两点， 所求直线方程为，即x3y110. y(9 2) 2(9 2) x(5 2) 5(5 2) 答案：x3y110 4(2018启东中学测试)已知直线l1的斜率为 2，l1l2，直线l2过点(
3、1,1)且与y 轴交于点P，则点P的坐标为_ 解析：因为l1l2，且l1的斜率为 2，则直线l2的斜率为 2.又直线l2过点(1,1)， 所以直线l2的方程为y12(x1)，整理得y2x3.令x0，得y3，所以点P的坐 标为(0,3) 2 答案：(0,3) 5若直线 2xy10，yx1，yax2 交于一点，则a的值为_ 解析：解方程组Error!可得Error! 所以直线 2xy10 与yx1 的交点坐标为(9，8)， 代入yax2，得8a(9)2， 所以a . 2 3 答案：2 3 6(2019苏州检测)已知直线l1：mx2y40 与直线l2：x(m1)y20 平行， 则l1与l2间的距离为
4、_ 解析：直线l1：mx2y40 与直线l2：x(m1)y20 平行，当m1 时， 显然不合题意；当m1 时，有 ，解得m1， m 1 2 m1 4 2 l1与l2间的距离d. |24| 14 6 5 5 答案： 6 5 5 二保高考，全练题型做到高考达标 1已知直线l1：(m1)x2y2m20，l2：2x(m2)y20，若直线l1l2， 则m_. 解析：由题意知，当m2 时，l1：3x2y20，l2：x10，不合题意；当m2 时， 若直线l1l2，则，解得m2 或m3(舍去) m1 2 2 m2 2m2 2 答案：2 2若直线l1：xay60 与l2：(a2)x3y2a0 平行，则l1与l2
5、之间的距离 为_ 解析：因为l1l2，所以 ，解得a1， 1 a2 a 3 6 2a 所以l1与l2的方程分别为l1：xy60，l2：xy 0， 2 3 所以l1与l2的距离d. |6 2 3| 2 8 2 3 答案： 8 2 3 3(2019张家港模拟)过点P(1,2)作一直线l，使直线l与点M(2,3)和点N(4，5) 的距离相等，则直线l的方程为_ 3 解析：易知直线l的斜率存在，直线l过点P(1,2)， 设l的方程为y2k(x1)，即kxyk20. 又直线l与点M(2,3)和点N(4，5)的距离相等， ， |2k3k2| k21 |4k5k2| k21 解得k4 或k ， 3 2 l的
6、方程为 4xy60 或 3x2y70. 答案：4xy60 或 3x2y70 4若直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点_ 解析：由于直线l1：yk(x4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又 由于直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，所以直线l2恒过定点(0,2) 答案：(0,2) 5 已知点P(0， 1)， 点 Q 在直线xy10 上， 若直线PQ 垂直于直线x2y50， 则点 Q 的坐标是_ 解析：设 Q(x0，y0)，因为点 Q 在直线xy10 上， 所以x0y010. 又直线x2y50 的斜率k ，直线PQ 的
7、斜率kPQ， 1 2 y01 x0 所以由直线PQ 垂直于直线x2y50， 得1. y01 x0( 1 2) 由解得x02，y03，即点 Q 的坐标是(2,3) 答案：(2,3) 6(2019苏州一模)设m，nR，若直线l：mxny10 与x轴相交于点A，与y轴 相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则AOB的面积S的最小值为_3 解析：由坐标原点O到直线l的距离为，可得，化简得m2n2 .3 |1| m2n2 3 1 3 对直线l：mxny10，令x0，可得y ；令y0，可得x ， 1 n 1 m 故AOB的面积S 3， 1 2| 1 m 1 n| 1 2|mn| 1 m2n2 当且仅当
8、|m|n|时，取等号 6 6 故AOB的面积S的最小值为 3. 答案：3 7 设mR， 过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x， 4 y)，则PAPB的最大值是_ 解析：易求定点A(0,0)，B(1,3)当P与A和B均不重合时，因为P为直线xmy0 与mxym30 的交点，且易知两直线垂直，则PAPB，所以PA2PB2AB210，所以 PAPB5(当且仅当PAPB时， 等号成立)， 当P与A或B重合时，PAPB0， PA2PB2 2 5 故PAPB的最大值是 5. 答案：5 8将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0,2)与点B(4,0)重合若此时点 C(7
9、,3)与点D(m，n)也重合，则mn的值是_ 解析：由题意知，折痕既是A，B的对称轴，也是 C，D的对称轴 因为AB的斜率kAB ，AB的中点为(2,1)， 02 40 1 2 所以图纸的折痕所在的直线方程为y12(x2)， 所以kCD ， n3 m7 1 2 因为CD的中点为， ( m7 2 ，n3 2) 所以12. n3 2( m7 2 2) 由解得m ，n，所以mn. 3 5 31 5 34 5 答案：34 5 9已知直线l1：ax2y60 和直线l2：x(a1)ya210. (1)当l1l2时，求a的值； (2)当l1l2时，求a的值 解：(1)法一：当a1 时，l1：x2y60， l
10、2：x0，l1不平行于l2； 当a0 时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2； 当a1 且a0 时， 两直线方程可化为l1：yx3，l2：yx(a1)， a 2 1 1a 由l1l2可得Error!解得a1. 综上可知，a1. 法二：由l1l2知Error! 即Error!Error!a1. (2)法一：当a1 时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不垂直，故a1 不符合； 5 当a1 时，l1：yx3，l2：yx(a1)， a 2 1 1a 由l1l2，得1a . ( a 2) 1 1a 2 3 法二：因为l1l2， 所以A1A2B1B20， 即a2(a1)0，得a . 2
11、3 10已知ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为 2xy50，AC边 上的高BH所在直线方程为x2y50，求直线BC的方程 解：依题意知：kAC2，A(5,1)， 所以lAC的方程为 2xy110， 联立Error!得C(4,3) 设B(x0，y0)，则AB的中点M， ( x05 2 ，y 01 2) 代入 2xy50，得 2x0y010， 联立Error!得B(1，3)，所以kBC ， 6 5 所以直线BC的方程为y3 (x4)， 6 5 即 6x5y90. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1(2019江阴检测)直线l经过点P(2,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为
12、S， 如果符合条件的直线l能作且只能作三条，则S_. 解析 ： 由已知可得直线l的斜率一定存在且不为零，设直线l的方程为y1k(x2)， 则直线l与坐标轴的交点为(0,12k)， (2 1 k，0) 则S |12k|. 1 2|2 1 k| |2 1 2k2k| 如果符合条件的直线l能作且只能作三条， 则关于k的方程S只有三个解， |2 1 2k2k| 即 4k22(S2)k10 与 4k22(S2)k10，一个有一解，一个有两解，解得S4. 答案：4 2 (2018锡山高级中学检测)在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 则直线xsin Aayc0 与直线bxysin Bsin
13、C0 的位置关系是_ 解析 ： 在ABC中，由正弦定理，得1.又xsin Aayc0 a sin A b sin B b sin B sin A a 6 的斜率k1，bxysin Bsin C0 的斜率k2，因此k1k2 sin A a b sin B b sin B 1，所以两条直线垂直 ( sin A a) 答案：垂直 3已知直线l经过直线l1：2xy50 与l2：x2y0 的交点 (1)若点A(5,0)到l的距离为 3，求l的方程； (2)求点A(5,0)到l的距离的最大值，并求此时l的方程 解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0， 即(2)x(12)y50， 因为点A(5,0)到l的距离为 3，所以3， |1055| 22122 即 22520，所以2 或 ， 1 2 所以直线l的方程为x2 或 4x3y50. (2)如图，由Error!解得交点P(2,1)，过P作任一直线l，设d为 点A到l的距离，则dPA(当lPA时等号成立) 所以dmaxPA.52201210 因为kPA ，lPA，所以kl3， 1 3 所以直线l的方程为y13(x2)，即 3xy50.