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1、随机事件的概率,研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.,概率是随机事件 发生可能性大小 的度量,事件发生的可能性 越大，概率就 越大！,例如，了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额.,了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.,了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.,一、频率及其性质,定义,次数为,频率.,历史上著名的投掷硬币试验记录,试验表明：,虽然每次投掷硬币事先无法准确预,知出现正面还是反面，,但大量重复试验时，,发现出现,正面和反面的次数大致相等，,即各占总试验次数的比,例大致为0.
2、5，,并且随着试验次数的增加，,这一比例,更加稳定的趋于0.5.,在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小. 这个性质叫做频率的稳定性.,检查某工厂一批产品的质量,从中分别抽取,10件、,100件、,20件、,200件、,150件、,50件、,300,件检查,检查结果及次品出现的频率列如下表.,10,20,50,100,150,200,300,0,1,3,5,7,11,16,0,0.050,0.060,0.050,0.047,0.055,0.053,由上表可以看出,次品数,但次品频率,仅在,0.05 附近有微小变化.,这里 0.05 就是次品频率的
3、,稳定值.,频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小.,因此，概率是可以通过频率来“测量”的, 频率是概率的一个近似.,概率的统计定义,定义,在相同条件下进行n次重复试验,若事件A,发生的频率,随着试验次数n的增大而,稳定地在某个常数P附近摆动,则称P为事件A的概率，,记为P(A).,概率被视为频率的稳定值,从而应具有与频率相应的,性质:,1.,2.,3.,则,例如，若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录.,若他射击n发，中靶 m发，当n很大时，可用频率m/n作为他中靶概率的估计.,从某鱼池中取 100 条鱼,做上记号后再放入,该鱼池中.,先从该池中
4、任意捉来 40 条鱼,发现其,中两条有记号,问池内大约有多少条鱼?,解,则从池中捉到一条有记号鱼,的概率为,它近似于捉到有记号鱼的频率,即,故池内大约有2000条鱼.,古典概型,我们首先引入的计算概率的数学模型，是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象，通常称为,古典概型,2,3,4,7,9,10,8,6,1,5,一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为110 .把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.,因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得 . 也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.,1,3,2,4,5,6,7
5、,8,9,10,10个球中的任一个被取出的机会都是1/10,我们用 i 表示取到 i号球， i =1,2,10 .,称这样一类随机试验为古典概型.,2,且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同 .,S=1,2,10 ,则该试验的样本空间,如i =2,称这种试验模型为等可能概型 或古典概型.,定义 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同.,则事件A发生的概率,称此概率为古典概率,这种确定概率的方法称为,古典方法.,这就把求古典概率的问题转化为对基,本事件的计数问题.,二、古典概型中事件概率的计算,若记 A=摸到2号球 P(
6、A)=?,P(A)=1/10,记 B=摸到红球 P(B)=?,P(B)=6/10,2,1. 加法原理,设完成一件事有m种方式，,第一种方式有n1种方法，,第二种方式有n2种方法,；,第m种方式有nm种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，,则完成这件事总共 有n1 + n2 + + nm 种方法 .,例如，某人要从甲地到乙地去,甲地,乙地,可以乘火车,也可以乘轮船.,火车有两班,轮船有三班,乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?,3 + 2 种方法,回答是,2. 乘法原理,设完成一件事有m个步骤，,第一个步骤有n1种方法，,第二个步骤有n2种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，,例如，
7、若一个人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？,可以有 种打扮,加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础 .,k = n时称全排列,排列、组合的几个简单公式,2、组合: 从n个不同元素取 k个 （1 k n)的不同组合总数为：,称为组合系数.,排列和组合的区别:,顺序不同的排列视为不同的排列,而组合与顺,序无关.,例如,从5个球中任取3个的取法共有多少种?,又如,1至5五个数字可组成多少个没有重复数字的位数?,答:,位数.,例,掷一颗匀称骰子,或五点”,解,得,一个袋子中装有 10 个大小相同的球,其中 3,个黑球,
8、7 个白球,求:,(1),从袋子中任取一球,这个球是黑球的概率;,(2),从袋子中任取两球,刚好一个白球一个黑球的,概率,(1),解,10 个球中任取一个,从,而根据古典概率计算,的概率为,以及两个球全是黑球的概率.,一个袋子中装有 10 个大小相同的球,其中 3,个黑球,7 个白球,求:,(2),从袋子中任取两球,刚好一个白球一个黑球的,概率,解,以及两个球全是黑球的概率.,(2),10 个球中任取两球的取法有,种,其中,种取法,两个球均是黑球的取法有,种,好取到一个白球一个黑球”,为,为黑球”,则,事件“刚,事件“两个球均,解,(2),10 个球中任取两球的取法有,种,其中,种取法,两个球
9、均是黑球的取法有,种,好取到一个白球一个黑球”,为事件,为黑球”,则,“刚,“两个球均,求下列各事件的概率:,(1),(3),(2),各球自左至右或自右至左,顺序;,解,基本事件总数为 24.,别为,即,分,(2),(1),中有两种排法,故有,中有,种排法,故有,(3),先将第1,2号球排在任意相邻两个位置,共有,种排法,其余两个球可在其余两个位置任意排,放,共有2!种排法,因而,有,种排法,故,将 3 个球随即放入 4 个杯子中,问杯子中,的概率各是多少?,解,我们认为球是可以区分的,于是,球过程的所有可能结果数为,(1),所含的基本事件数:,即是从 4 个杯子中任选,3个杯子,每个杯子放入
10、一个球,杯子的选法有,种,球的放法有 3! 种,故,放,球,杯子中的最多球数分别为,解,(2),所含的基本事件数:,由于杯子中的最,多球数是 3,即 3 个球放在同一个杯子中,故,种放法,共有 4,(3),由于三个球放在 4 个杯子中,为,显然,故,的各种可能放法,事件,概率的性质,性质1,性质2,容的事件，,则有,性质3,性质4,特别地，,若,则,(1),(2),性质5,对任一事件A，,性质6,注：,性质6可推广到任意有限个事件的并的情形.,例如,已知,求,(1),(2),(3),(4),解,(1),因为,相容的,故有,于是,(2),已知,求,(3),(4),解,(3),(4),完,某城市中发行 2 种报纸,经调查,在这,2 种报纸的订户中,订阅,求只订一种报纸的概率,解,记事件,则,只订一种报,又这两件事是互不相容的,由概率加法公式及性,质 4,有,