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1、6 二阶线性微分方程解的性质与通解结构,二阶线性微分方程的概念 二阶线性齐次微分方程解的性质与通解的结构 二阶线性非齐次微分方程解的性质与通解结构 常数变易法,一. 二阶线性微分方程的概念,定义1：,二. 二阶线性微分方程解的性质 与通解的结构,设有二阶线性齐次微分方程,(2),关于(2)的解，我们有：,定理1,都是方程(2)的解，,线性齐次方程的解具有可叠加性。,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,定义2,成立，则称此 n 个函数在 I 内线性相关， 否则线性
2、无关。,例如，,在( , )上都有,故它们在任何区间 I 上都线性相关;,又如，,若在某区间 I 上,则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见,在任何区间 I 上都 线性无关.,特别地:,两个函数在区间 I上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为 0 的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为 0, 则,必线性,相关,(证明略),线性无关,Dec.15 Wed. Review,1. 二阶线性微分方程,(2),定理1 若,是方程(2)的解，,则它们的任意组合：,都是方程(2)的解，其中,为任意常数。,2. 线性齐次方程的解具有可叠加性,3. 线性相关与线性无关,成
3、立，则称此 n 个函数在 I 内线性相关，否则线性无关。,定理2,对高阶线性齐次方程，有类似定理：,定理3 若,是n阶线性齐次方程,其中,为任意常数。,的n个线性无关的特解，则它的通解为：,三. 二阶线性非齐次微分方程 解的性质与通解的结构,定理4 设 是非齐次方程,的一个特解，,为对应的齐次方程的通解，则,为非齐次方程的通解。,证明：,由假设知：,例,已知,是对应齐次方程的通解，,容易验证：,故该方程的通解为，,为该方程的一个特解.,例1 证明：如果 和 是 的两个线性无关解，则 是对应齐次方程的解。已知二阶线性非齐次方程的3个特解为 求该方程满足初始条件 的特解。,证明：,要求出非齐次方程
4、的通解，须先构造齐次方程的通解.,只有零解。,故得齐次方程的两个线性无关的特解，非齐方程的通解为：,例2.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解 .,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,解的叠加原理,定理 5.,是对应齐次方程的 n 个线性,无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,四、常数变易法,复习:,常数变易法:,对应齐次方程的通解:,设非齐次方程的解为,代入原方程确定,对二阶非齐次方程,情形1. 已知对应齐次方程通解:,设的解为,由于有两个待
5、定函数, 所以要建立两个方程:,令,于是,将以上结果代入方程 :,得,故, 的系数行列式,积分得:,代入 即得非齐次方程的通解:,于是得,说明:,将的解设为,只有一个必须满足的条件即方程,因此必需再附加一,个条件,方程的引入是为了简化计算.,情形2.,仅知的齐次方程的一个非零特解,代入 化简得,设其通解为,积分得,(一阶线性方程),由此得原方程的通解:,例5.,的通解为,的通解.,解: 将所给方程化为:,已知齐次方程,求,利用,建立方程组:,积分得,故所求通解为,例6.,的通解.,解:,对应齐次方程为,已知对应的齐次方程有特解:,令,代入非齐次方程后化简得,此题不需再作变换.,特征根:,设的特解为,于是得的通解:,故原方程通解为,(二阶常系数非齐次方程),代入可得:,解：,Hw: p301 1(2,4,6,8) 5,8.,