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1、第八章 Fourier 变换,Fourier 变换是积分变换中常见的一种变换，它既能够,简化运算 ( 如求解微分方程、化卷积为乘积等等 )，又具有,非常特殊的物理意义。,的地位，而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。,展起来的。在微积分课程中已经学习了Fourier 级数的有关,内容，因此本节将先简单地回顾一下 Fourier 级数展开。,8.1 Fourier 变换的概念,因此，Fourier 变换不仅在数学的许多分支中具有重要,Fourier 变换是在周期函数的 Fourier 级数的基础上发,8.1 Fourier 变换的概念,一、周期函数的 Fourier 级数,二、非周期函数的 Fo
2、urier 变换,一、周期函数的 Fourier 级数,1. 简谐波的基本概念,简谐波,为基本周期；,为频率。,一、周期函数的 Fourier 级数,2. 正交函数系,函数系,一、周期函数的 Fourier 级数,2. 正交函数系,特点,由 组合叠加可以生成周期为 T 的复杂波。,(1) 周期性,其中，,(2) 正交性,一、周期函数的 Fourier 级数,2. 正交函数系,?,能否：,区间 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)：,则在 的连续点处有,在 的间断处，上式左端为,3. Fourier 级数的三角形式,(A),一、周期函数的 Fourier 级数,称之为基频。,( Di
3、richlet 定理),定理,3. Fourier 级数的三角形式,其中,(A),一、周期函数的 Fourier 级数,4. Fourier 级数的物理含义,令,则 (A) 式变为,一、周期函数的 Fourier 级数,这些简谐波的(角)频率分别为一个基频 的倍数。,这是周期信号的一个非常重要的特点。,4. Fourier 级数的物理含义,一、周期函数的 Fourier 级数,这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。,4. Fourier 级数的物理含义,所占有的份额；,沿时间轴移动的大小。,一、周期函数的 Fourier 级数,5. Fourier 级数的指数形式,代入 (A) 式并整理得
4、,根据 Euler 公式,可得,一、周期函数的 Fourier 级数,5. Fourier 级数的指数形式,推导,则有,令,其中,一、周期函数的 Fourier 级数,(2) 计算系数 时, 其中的积分可以在任意,一个长度为 T 的区间上进行。,(3) 采用周期延拓技术，可以将结论应用到,仅仅定义在某个有限区间上的函数。,5. Fourier 级数的指数形式,一、周期函数的 Fourier 级数,6. 离散频谱与频谱图,得,即 的模与辐角正好是振幅和相位。,称 为频谱，记为,一、周期函数的 Fourier 级数,6. 离散频谱与频谱图,一、周期函数的 Fourier 级数,(1) 当 n =
5、0 时，,解,(3) 的 Fourier 级数为,解,(4) 振幅谱为,相位谱为,(5) 频谱图如下图所示。,解,借助 Fourier 级数展开，使得人们能够完全了解一个,信号的频率特性，从而认清了一个信号的本质，这种对,信号的分析手段也称为频谱分析(或者谐波分析)。,但是，Fourier 级数要求被展开的函数必须是周期函,数， 而在工程实际问题中， 大量遇到的是非周期函数，,那么，对一个非周期函数是否也能进行频谱分析呢?,二、非周期函数的傅立叶变换,二、非周期函数的傅立叶变换,(1) 非周期函数可以看成是一个周期为无穷大的“周期函数”。,1. 简单分析,当 T 越来越大时，取值间隔越来越小；
6、,当 T 趋于无穷时，取值间隔趋向于零，,因此，一个非周期函数将包含所有的频率成份。,其频谱是以 为间隔离散取值的。,即频谱将连续取值。,(2) 当 时，频率特性发生了什么变化？,二、非周期函数的傅立叶变换,1. 简单分析,(3) 当 时，级数求和发生了什么变化？,二、非周期函数的傅立叶变换,1. 简单分析,分析,分析,则,按照积分定义，在一定条件下，(C) 式可写为,记,(3) 当 时，级数求和发生了什么变化？,二、非周期函数的傅立叶变换,1. 简单分析,二、非周期函数的傅立叶变换,2. Fourier 积分公式,(2) Fourier 逆变换(简称傅氏逆变换),注：上述变换中的广义积分为柯
7、西主值。,二、非周期函数的傅立叶变换,-1,3. Fourier 变换的定义,二、非周期函数的傅立叶变换,4. Fourier 变换的物理意义,与 Fourier 级数的物理意义一样，Fourier 变换同样,刻画了一个非周期函数的频谱特性，不同的是，非周期,函数的频谱是连续取值的。,一般为复值函数，故可表示为,反映的是 中各频率分量的分布密度，它,(2) 振幅谱为,相位谱为,解,(3) 求 Fourier 逆变换，即可得到的 Fourier 积分表达式。,解,-1,一般地，有,特别地，有,注,解,相位谱为,历史回顾 Fourier级数,附：,历史回顾 Fourier级数,附：,1829 年，德国数学家 Dirichlet 终于对一类条件较“宽”的,函数给出了严格的证明。时年 24 岁。,1830年 5 月 16 日，Fourier 在巴黎去世。,历史回顾 Fourier级数,附：,人物介绍 狄利克雷,附：,附：,人物介绍 傅立叶,附：抽样信号,抽样信号在连续(时间)信号的离散化、离散(时间)信号的,精确恢复以及信号的滤波中发挥着重要的作用。,附：低通滤波,它所对应的频谱函数 称为理想低通滤波器。,当用理想低通滤波器 与其它信号的频谱函数相乘时，,能使信号的低频成份完全通过(保留)，高频成份完全压制。,