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1、1-4 相关 correlation 信息处理中的重要运算 一、互相关 cross correlation,定义：考虑两个复函数f(x)与g(x),定义,作变量替换x+x =x , 则,(1) 和 (2)两个定义式是完全等价的.,互相关是两个函数间存在相似性的量度.,1-4 相关 correlation 一、互相关,由(2)式易见：,1. 当且仅当f*(-x)=f(x) f(x)是厄米的, 相关才和卷积相同. 一般情况下,相关运算与卷积运算的区别: f(x)要取复共轭 运算时f(x) 不需折叠,由(3)式直接推论得:,性质1：互相关不满足交换律 rfg(x)=f(x) g(x) g(x) f(
2、x) = rgf (x) 相关计算要严格注意两个函数的顺序,以及哪个函数取复共轭.,互相关与卷积的关系,1-4 相关 correlation 一、互相关,性质2,证明：引用施瓦兹不等式,其中与一般为复函数，且仅当=k 时，等号成立。令()=f(-x)， ()=g()，则施瓦兹不等式为：,即,1-4 相关 correlation 二、自相关 auto-correlation,或:,复函数的自相关函数是厄米函数(实部为偶函数,虚部为奇函数) 实函数的自相关为实偶函数,当f(x)=g(x)时,互相关变为复函数f(x)的自相关, 定义为,1-4 相关 correlation 二、自相关 auto-co
3、rrelation 重要性质,由(3)式:,若f(x)是实偶函数, 则:rff (x)= f(x) * f(x) , 其自相关就是自卷积,对于非零复函数f(x),rff (0)0 为实值 |rff (x)| rff (0),证明: 利用施瓦兹不等式,1-5二维傅里叶变换 三角傅里叶级数,满足狄氏条件的函数 g(t) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为三角傅里叶级数:,展开系数,零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念， 奇、偶函数的三角级数展开,三角傅里叶展开的例子,周期为t =1的方波函数,三角傅里叶展开的例子,求函数 g(t)=rect(2t)*comb(t) 的傅里叶级数展开系数,采用
4、指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。,1-5 二维傅里叶变换 指数傅里叶级数,满足狄氏条件的函数 g(t) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为指数傅里叶级数:,展开系数,零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念,指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表示方式，一种系数可由另一种系数导出。,1-5 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 从傅里叶级数到傅里叶变换,函数 (满足狄氏条件) 具有有限周期t,可以展为傅里叶级数:,n级谐波频率:n/t 相邻频率间隔: 1/t,1-5二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 从傅里叶级数
5、到傅里叶变换,由于t 分立的n级谐波频率 n/t f, f: 连续的频率变量 相邻频率间隔: 1/t 0, 写作df, 求和积分,1-5 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 从傅里叶级数到傅里叶变换,写成两部分对称的形式:,1-5二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 一、定义及存在条件,函数f(x,y)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点), 定义函数,f(x,y): 原函数, F(,): 像函数或频谱函数,傅里叶变换的核: exp(-j2px),1-5 二维傅里叶变换 2-D Fourier Tran
6、sform 一、定义(续),由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换:,f(x,y)和F(,)称为傅里叶变换对,x (y) 和 ()称为一对共轭变量, 它们在不同的范畴(时空域或频域) 描述同一个物理对象.,1-5 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 一、定义(续),描述了各频率分量的相对幅值和相移.,F(,)是f(x,y)的频谱函数,1-5二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 广义 F.T.,对于某些不符合狄氏条件的函数, 求F.T.的方法.,例: g(x,y)=1, 在(-, + )不可积,对某个可变换函数组成的系列取极限不符合狄氏条件的函数,
7、 函数系列变换式的极限原来函数的广义F. T.,可定义: g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t) t ,1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 二、广义 F.T.,根据广义傅立叶变换的定义和d 函数的定义:,按照广义变换的概念可以得出一系列特殊函数的F.T.,1-5 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 二、 极坐标下的二维傅里叶变换和傅里叶-贝塞尔变换 特别适合于圆对称函数的F.T.,依F.T.定义:,极坐标变换,1-5 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 极坐标下的二维傅里叶变换,令:,则在极坐标
8、中:,则极坐标下的的二维傅里叶变换定义为：,1-5 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 傅里叶-贝塞尔变换,当 f 具有圆对称性，即仅是半径r的函数:f(x,y)= g(r,q) = g (r). 依F.T.定义:,1-5 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 傅里叶-贝塞尔变换 例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.,作变量替换, 令r =2prr, 并利用:,1-5 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 三. 虚、实、奇、偶函数的 F.T.,将频谱函数G()分别写成实部(余弦变换)和虚部(正弦变换), 然后根据g(x)的
9、虚、实、奇、偶 性质讨论频谱的相应性质.,注意: 并非实函数的频谱一定是实函数.只有厄米函数(实部为偶函数,虚部为奇函数)的频谱才一定是实函数.,1-5 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 四、 F.T.定理 - F.T.的基本性质,1. 线性定理 Linearity,2. 空间缩放 Scaling (相似性定理）,1-5 二维傅里叶变换Fourier Transform 四、 F.T.定理 空间缩放,注意空域坐标(x,y)的扩展(a,b1),导致频域中坐标(,)的压缩及频谱幅度的变化. 反之亦然.,1-5 二维傅里叶变换Fourier Transform 四、 F.T
10、.定理 3. 位移定理 Shifting,频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移.,空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数振幅分布不变,但位相随频率线性改变.,1-5 二维傅里叶变换Fourier Transform 四、 F.T.定理 4. 帕色伐(Parseval)定理,若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压, 则| g(x) |2dx 代表信号的总能量(或总功率),| G() |2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔的能量或功率),Parseval定理说明,信号的能量由|G()|2曲线下面积给出.或者说等于各频率分量的能量之和能量守恒,1-5 二维傅里叶变换Fouri
11、er Transform 四、 F.T.定理 - Parseval定理的证明,交换积分顺序,先对x求积分:,利用复指函数的F.T.,利用d 函数的筛选性质,思考题:,1-5二维傅里叶变换Fourier Transform 四、 F.T.定理 5. 卷积定理,空域中两个函数的卷积, 其F.T.是各自F.T.的乘积.,空域中两个函数的乘积, 其F.T.是各自F.T.的卷积.,将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用. 亦可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积,1-5 二维傅里叶变换Fourier Transform 卷积定理的证明,交换积分顺序:,应用位移定理,应用F.T.定义,1-
12、5二维傅里叶变换Fourier Transform 利用卷积定理的例子,1-5 二维傅里叶变换Fourier Transform 四、 F.T.定理 6. 相关定理,则有:,f(x, y) g(x, y)= F* (, ) G(, ),1-5 二维傅里叶变换Fourier Transform 四、 F.T.定理 6. 相关定理,自相关与功率谱的关系:,反过来有:,1-5 傅里叶变换 Fourier Transform 常用傅里叶变换对,1. FT 1=d (, ); FTd (, )=1 1 与d 函数互为F.T.,4. FTGaus(x) = Gaus() 高斯函数的F.T.仍为高斯函数,3
13、. FTrect(x)=sinc(); FTsinc(x)= rect() rect与sinc 函数互为F.T.,梳状函数的F.T.仍为梳状函数,2.,1-6傅里叶变换 Fourier Transform 常用傅里叶变换对,5. FTd (x-a)=exp(-j2pa),6.,FTexp(j2ax)= (-a),1-6傅里叶变换 Fourier Transform 常用傅里叶变换对,7. FTtri(x) = sinc2(),8.,Spatial filtering,Low pass,High pass,Line filter,Fourier Transform Magnitude and Phase,Pictures reconstructed using the spectral phase of the other picture,The phase of the Fourier transform (spectral phase) is much more important than the magnitude in reconstructing an image.,Mag (FLinda) Phase (F Rick),Mag(F Rick) Phase(FLinda),