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1、第一章 章末总结/阶段复习课,对所学知识及时总结，将其构建成知识网络，既有助于整体把握知识结构，又利于加深对知识间内在联系的理解。下面是本阶段的知识结构图，请要求学生从后面的备选答案中选择准确内容，填在框图中的相应位置。,四种命题及关系 【技法点拨】 1.四种命题的写法 （1）对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p，则q”的形式后再进行转换 （2）分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题、否命题和逆否命题,2.四种命题真假的判断方法 因为互为逆否命题的真假等价，所以判断四个命题的真假，只需判断原命题与逆命题（或否命题）的真假即可.,【典例1】a，b，c为三个
2、人，命题A：“如果b的年龄不是最大的，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小的，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由. 【解析】能确定理由如下： 显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑,由命题A为真可知，当b不是最大时，则a是最小的，即若c最大，则a最小，所以cba；而它的逆否命题也为真，即“a不是最小，则b是最大”为真，所以bac.总之由命题A为真可知：cba或bac. 同理由命题B为真可知acb或bac. 从而可知，bac. 所以三个人年龄的大小顺序为b最大，a次之，c最小,【想一想】在四种命题中，真命题的
3、个数可能有几种？ 提示：因为原命题和逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0,2,4，共三种.,充分条件、必要条件和充要条件的判断及应用 【技法点拨】 1.判断充分条件、必要条件和充要条件的一点注意和四个方面 （1）因为条件对结论有四种关系，所以在判断时，一定要全面. （2）充分条件、必要条件和充要条件的判断，实质是判断由条件和结论构成命题及其逆命题的真假.,若原命题为真，逆命题为假，则条件是结论的充分但不必要条件； 若逆命题为真，原命题为假，则条件是结论的必要但不充分条件； 若原命题为真，逆命题也为真，则条件是结论的充要条件； 若原命题为假，逆命题也为假，
4、则条件是结论的既不充分也不必要条件.,2.充分条件、必要条件和充要条件的应用 此类问题是指属于已知条件是结论的充分但不必要条件、必要但不充分条件或者充要条件，来求某个字母的值或范围.涉及到的数学知识主要是不等式问题，根据相应知识列不等式（组）求解.,【典例2】（1）（2011山东高考）对于函数y=f(x),xR，“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的 ( ) （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件,(2)已知全集UR，非空集合A ，Bx| . 当a 时，求( B)A； 命题p：xA，命题q：xB，若q是p的必要条件
5、，求实数a的取值范围,【解析】（1）选B.“y=f(x)是奇函数”，图象关于原点对称，所以“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”； “y=|f(x)|的图象关于y轴对称”，y=f(x)的图象关于y轴对称或者关于原点对称，所以y=f(x)不一定为奇函数.,（2）当 时， Bx|x 或x . ( B)Ax| x .,a22a，Bx|a2，即a 时，Ax|2x3a1 q是p的必要条件，AB. ,（ii）当3a12，即a 时，A，不符合题意； （iii）当3a12，即a 时，Ax|3a1x2， 由AB得 综上所述：a的取值范围为 )( .,【总结】题（2）的解答用到的数学思想及应用此种思想需要注意的问
6、题. 提示：题（2）的解答用到的思想方法是分类讨论思想. 应用此种思想方法需要注意以下三点： （1）分类标准要唯一； （2）分类要做到各类之间不重复； （3）所有情况要找全.,命题“pq”、“pq”的真假判断 【技法点拨】 1.命题“pq”、“pq”的真假判断的三个过程 （1）首先将所给命题写为命题“pq”、“pq”. （2）判断命题p与q的真假. （3）由命题“pq”、“pq”真假的判断方法做出判断. 2.命题“pq”、“pq”真假的应用 此类问题是指由命题“pq”、“pq”的真假，判断命题p与q的真假，依次解决相关问题.,【典例3】（1）给出两个命题：p：函数yx2x1有两个不 同的零点；
7、q：若 1，那么在下列四个命题中，真命 题是( ) (A)(p)q (B)pq (C)(p)(q) (D)(p)(q) （2）已知命题p:函数f(x)=x2+mx+1的图象与x轴负半轴有两个 不同的交点;命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根若“p或q” 为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围.,【解析】（1）选D.对于p，函数对应的方程x2x10的判别式(1)24(1)50. 可知函数有两个不同的零点，故p为真 当x0时，不等式的解为x1. 故不等式 1. 故命题q为假命题 所以只有( p)( q)为真,（2）因为命题p:函数f(x)=x2+mx+1的图象与x轴负半轴有两个 不同
8、的交点，所以 m2因为命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，所以q:=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)0， 1m3. p或q为真，p且q为假，p真q假或p假q真 ,【想一想】在解题（2）时，对于条件是怎样处理的？从中你又得到怎样的启示？ 提示：在解题（2）时，首先将条件化简，找到与之等价的结论. 从中得到的启示是：当题目的条件所反映的关系不直接时，应先将其化简找到它的等价条件，然后再求解.,含有一个量词的命题的否定 【技法点拨】 1.全称命题与特称命题真假的判断方法 （1）判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例.,（2）判断特称
9、命题为真命题，需要举出正例，而判断特称命题为假命题时，要有严格的逻辑证明. 2.含有一个量词的命题否定的关注点 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.否定时既要改写量词，又要否定结论.,【典例4】已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx； （1）若“存在实数x0，使得f(x0)0”是假命题，求实数m的取值范围； （2）是否存在实数m，使得：对任意实数x，f(x)与g(x)至少有一个为正数？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.,【解析】（1）因为“存在实数x0，使得f(x0)0”是假命题，所以“对于任意实数x，使得f(x)0”是真命题，即对于任意实数
10、x，f(x)0恒成立. 当m=0时，不成立； 当m0时=4(4-m)2-8m0，2m8.,(2)当m0时,依题意显然不符合; 当m0时,则只要f(x)0在(-,0)上恒成立. 0m8.,【互动探究】将本例（1）中的条件改为真命题再求解. 【解析】当m=0时，f(x)=-8x+1，满足要求; 当m0时，只要=4(4-m)2-8m0，即m2或m8，就成立. 综上所述，实数m的取值范围是m2或m8.,【思考】题（1）解法的依据是什么？从中你又得到怎样的启示？ 提示：题（1）解法的依据是命题“p与 p真假性相反”，从中得到的启示是：当一个问题从正面入手比较困难时，可以从问题的反面入手来解决，即“正难则
11、反”.,1.下列四个命题中，真命题个数是( ) 若“x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题 “全等三角形的面积相等”的否命题 “若q1，则x2+2x+q=0有实根”的命题 “等边三角形的三个内角相等”的逆否命题 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4,【解析】选C：命题“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是“若x，y互为相反数，则x+y=0”，是真命题；：命题“全等三角形的面积相等”的否命题是“若两个三角形不全等，则这两个三角形的面积不相等”，是假命题；：因为q1，所以-q-1，即4-4q0，所以方程x2+2x+q=0有实根，是真命题；：因为命题“等边三角形的三个内角相等”是真命题，
12、所以它的逆否命题也是真命题.,2.命题p：“对任意一个实数x，均有x20”，则p为( ) (A)存在x0R，使得 0 (B)对任意xR，均有x20 (C)存在x0R，使得 0 (D)对任意xR，均有x20 【解析】选C因为命题p：“对任意一个实数x，均有x20”是全称命题，所以它的否定是“存在x0R，使得 0”.,3.命题p：若x0的否命题是_. 【解析】由否命题的定义知，命题p：若x0的否命题是“若x-5,则x2+6x+50”. 答案:若x-5,则x2+6x+50,4.已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么 A是 B 的_条件. 【解析】因为“A是B的充分条件”，即命题“若 A，则 B” 是真命题，由此知它的逆否命题“若 B，则 A”也是真命 题，即A是B的必要条件. 答案:必要,5.设p:实数x满足x2-4ax+3a20, 命题q:实数x满足 (1)若a=1,且pq为真，求实数x的取值范围； (2)若 p是 q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.,【解析】(1)由x2-4ax+3a20,所以ax3a, 当a=1时，1x3,即p为真时，实数x的取值范围是 1x3. 由 即q为真时，实数x的取值范围是2x3. 若pq为真，则p真且q真，,所以实数x的取值范围是23， 则03， 所以实数a的取值范围是1a2.,