全国通用2019届高考数学大一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和课件.ppt

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1、6.3 等比数列及其前n项和,第六章 数 列,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.等比数列的定义 一般地，如果一个数列_ _，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示(q0). 2.等比数列的通项公式 设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项an_ _.,知识梳理,从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一,个常数,公比,q,a1qn1(a10，,q0),3.等比中项 如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义， ， ，G ，称G为a，b的等比中项.,G2ab,4.等比数列的

2、常用性质 (1)通项公式的推广：anam (n，mN*). (2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则 . (3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)， ，anbn， 仍是等比数列.,qnm,akalaman,5.等比数列的前n项和公式 等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn， 当q1时，Snna1；,6.等比数列前n项和的性质 公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为 .,qn,等比数列an的单调性,【知识拓展】,(4)当q0时，an为摆动数列.,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括

3、号中打“”或“”) (1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列.( ) (2)G为a，b的等比中项G2ab.( ) (3)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列. ( ),基础自测,1,2,3,4,5,6,(4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列.( ) (5)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn .( ) (6)数列an为等比数列，则S4，S8S4，S12S8成等比数列.( ),1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编 2.P51例3已知an是等比数列，a22，a5 ，则公比q_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6

4、,3.P54A组T8在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_.,答案,1,2,3,4,5,6,解析 设该数列的公比为q，由题意知， 2439q3，q327，q3. 插入的两个数分别为9327,27381.,解析,27,81,题组三 易错自纠 4.若1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则 的 值为_.,答案,1,2,3,4,5,6,解析,解析 1，a1，a2,4成等差数列， 3(a2a1)41，a2a11. 又1，b1，b2，b3,4成等比数列，,5.设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则 _.,解析,答案,1,2,3,4,5

5、,6,解析 设等比数列an的公比为q， 8a2a50，8a1qa1q40. q380，q2，,11,6.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机_分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB210 KB).,解析,答案,1,2,3,4,5,6,解析 由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an，且a12，q2，an2n， 则2n64210216，n16. 即病毒共复制了16次. 所需时间为16348(分钟).,48,题型分类 深度剖析,解析,答案,题型一 等比数列基本量的运算,自主演练,解得a42.设等比数列a

6、n的公比为q，,解析,答案,2n1,等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.,典例 (2018潍坊质检)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2. (1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；,题型二 等比数列的判定与证明,师生共研,证明,证明 由a11及Sn14an2， 得a1a2S24a12. a25，b1a22a13.,由，得an14an4an1(n2)， an12an2(an2an1)(n2). bnan12an，bn2bn1(n2)， 故bn是首项b13，公比为2的

7、等比数列.,解答,(2)求数列an的通项公式.,解 由(1)知bnan12an32n1，,故an(3n1)2n2.,若将本例中“Sn14an2”改为“Sn12Sn(n1)”，其他不变，求数列an的通项公式.,解答,解 由已知得n2时，Sn2Sn1n. Sn1Sn2Sn2Sn11， an12an1， an112(an1)，n2， (*) 又a11，S2a1a22a12，即a212(a11)， 当n1时(*)式也成立， 故an1是以2为首项，以2为公比的等比数列， an122n12n，an2n1.,(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数

8、列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. (2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证.,跟踪训练 (2016全国)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0. (1)证明an是等比数列，并求其通项公式；,证明,证明 由题意得a1S11a1，,由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an1(1)an，由a10，0得an0，,解答,解得1.,1.(2017郑州三模)已知等比数列an，且a6a84，则a8(a42a6a8)的值为 A.2 B.4 C.8 D.16,题型三 等比数列性质的应用,自主演练,解析,答案,2.(2017云南省十一校跨区调研)已知数列an是等比数

9、列，Sn为其前n项和，若a1a2a34，a4a5a68，则S12等于 A.40 B.60 C.32 D.50,解析 由等比数列的性质可知，数列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，即数列4,8，S9S6，S12S9是等比数列，因此S1248163260，故选B.,解析,答案,等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形. (2)等比中项的变形. (3)前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.,典例 (12分)已知首项为 的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列. (1)

10、求数列an的通项公式；,分类讨论思想在等比数列中的应用,思想方法,思想方法指导,思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n项和，根据函数的单调性证明.,规范解答,规范解答 (1)解 设等比数列an的公比为q， 因为2S2，S3,4S4成等差数列， 所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，,课时作业,1.(2017福建漳州八校联考)等比数列an的前n项和为Sn，若S32，S618，则 等于 A.3 B.5 C.31 D.33,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,解析 设等比数列a

11、n的公比为q，则由已知得q1.,2.(2017武汉市武昌区调研)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn.若S23a22，S43a42，则a1等于,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由S23a22，S43a42，得a3a43a43a2，,解得a11，故选B.,3.(2017张掖市一诊)已知等比数列an中，a32，a4a616，则 的值为 A.2 B.4 C.8 D.16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,

12、15,16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.(2017山西太原三模)已知数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn3)(nN*)在函数y32x的图象上，等比数列bn满足bnbn1an(nN*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是 A.Sn2Tn B.Tn2bn1 C.Tnan D.Tnbn1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意可得Sn332n，Sn32n3， 由等比数列前n项和的特点可得数列an是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式an32n1， 设bnb1qn1，则b1

13、qn1b1qn32n1， 当n1时，b1b1q3，当n2时，b1qb1q26， 解得b11，q2， 数列bn的通项公式bn2n1， 由等比数列求和公式有：Tn2n1，观察所给的选项： Sn3Tn，Tn2bn1，Tnan，Tnbn1.,5.(2017广元模拟)等比数列an的各项均为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10等于 A.5 B.9 C.log345 D.10,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由等比数列的性质知a5a6a4a7，又a5a6a4a718，所以a5a69， 则原式log3(a1a2a

14、10)log3(a5a6)510.,6.(2018长春质检)中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了 A.192里 B.96里 C.48里 D.24里,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即第二天走了96里，故选B.,解析,答案,1,2,3

15、,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.已知an是各项都为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且S23，S415，则a3_.,4,解析 S4S2a3a412，S2a1a23，,a3a4a3(1q)3a312，a34.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.在各项均为正数的等比数列an中，若a21，a8a62a4，则a6的值是_.,4,解析 因为a8a2q6，a6a2q4，a4a2q2， 所以由a8a62a4，得a2q6a2q42a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2q220， 解得q22

16、，q21(舍去)，a6a2q41224.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和为_.,2n1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn1(nN*)，则通项an _.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 anSn1， an1Sn11(n2)，

17、,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.(2016全国)已知各项都为正数的数列an满足a11， (2an11)an2an10. (1)求a2，a3；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求an的通项公式.,2an1(an1)an(an1). 因为an的各项都为正数，所以an10，,12.已知数列an中，a11，anan1 ，记T2n为an的前2n项的和，bna2na2n1，nN*. (1)判断数列bn是否为等比数列，并求出bn；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,

18、13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,bna2na2n1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求T2n.,T2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n),13.(2017新乡三模)若数列an1an是等比数列，且a11，a22，a35， 则an_.,技能提升练,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,

19、13,14,15,16,解析 a2a11，a3a23，q3，,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.(2018徐州质检)设数列an的前n项和为Sn，且a11，anan1 (n 1,2,3，)，则S2n3_.,解析 由题意，得S2n3a1(a2a3)(a4a5)(a2n2a2n3),15.已知等比数列an的各项均为正数且公比大于1，前n项积为Tn，且a2a4a3，则使得Tn1的n的最小值为 A.4 B.5 C.6 D.7,拓展冲刺练,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,

20、5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 an是各项均为正数的等比数列，且a2a4a3，,又q1，a11(n3)， TnTn1(n4，nN*)，T11，T2a1a21，T3a1a2a3a1a2T21，,T6T5a6a61，故n的最小值为6，故选C.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.(2017武汉市武昌区调研)设Sn为数列an的前n项和，Sn (1)n an(nN*)，则数列Sn的前9项和为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)nan(1)n1an1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,此时n1为奇数，所以若n为奇数，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以数列an的通项公式为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以数列Sn的前9项和为S1S2S3S99a18a27a36a43a72a8a9(9a18a2)(7a36a4)(3a72a8)a9,