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1、13.3 数学归纳法,第十三章 推理与证明、算法、复数,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取 (n0N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设当nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当 时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.,知识梳理,第一个值n0,nk1,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立.( ) (2)所有与正整
2、数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.( ) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项.( ),基础自测,1,2,3,4,5,6,(5)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n 1时，左边式子应为122223.( ) (6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n03.( ),1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编 2.P99B组T1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n(n3)条时，第一步检验n等于 A.1 B.2 C.3 D.4,答案,解析,1,2,3,4,5,6,解析
3、 凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n3.,3.P96A组T2已知an满足an1 ，nN*，且a12，则a2_，a3_，a4_，猜想an_.,答案,1,2,3,4,5,6,n1,3,4,5,解析,答案,题组三 易错自纠 4.用数学归纳法证明1aa2an1 (a1，nN*)，在验证n1时，等式左边的项是 A.1 B.1a C.1aa2 D.1aa2a3,1,2,3,4,5,6,解析 当n1时，n12， 左边1a1a21aa2.,则上述证法 A.过程全部正确 B.n1验证得不正确 C.归纳假设不正确 D.从nk到nk1的推理不正确,解析,答案,1,2,3,4,5,6,解析 在nk1时，没有应
4、用nk时的假设，不是数学归纳法.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,6.用数学归纳法证明1232n2n122n1(nN*)时，假设当nk时命题成立，则当nk1时，左端增加的项数是_.,2k,解析 运用数学归纳法证明 1232n2n122n1(nN*). 当nk时，则有1232k2k122k1(kN*)，左边表示的为2k项的和. 当nk1时，则 左边1232k(2k1)2k1，表示的为2k1项的和，增加了2k12k2k项.,题型分类 深度剖析,1.用数学归纳法证明：,题型一 用数学归纳法证明等式,自主演练,证明,证明 (1)当n1时，,左边右边，所以等式成立. (2)假设当nk (kN*且k1
5、)时等式成立，即有,所以当nk1时，等式也成立， 由(1)(2)可知，对于一切nN*等式恒成立.,证明,求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*).,证明 (1)当n2时，左边f(1)1，,(2)假设当nk(k2，kN*)时，结论成立，即 f(1)f(2)f(k1)kf(k)1， 那么，当nk1时， f(1)f(2)f(k1)f(k) kf(k)1f(k)(k1)f(k)k,(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1， 当nk1时结论成立. 由(1)(2)可知当n2，nN*时，f(1)f(2)f(n1)nf(n)1.,用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值n0的取
6、值并验证当nn0时等式成立. (2)由nk证明nk1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标. (3)掌握恒等变形常用的方法：因式分解；添拆项；配方法.,题型二 用数学归纳法证明不等式,师生共研,证明,典例 设实数c0，整数p1，nN*. (1)证明：当x1且x0时，(1x)p1px；,证明 当p2时，(1x)212xx212x，原不等式成立. 假设当pk(k2，kN*)时，不等式(1x)k1kx成立. 则当pk1时， (1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx) 1(k1)xkx21(k1)x. 所以当pk1时，原不等式也成立. 综合可得，当x1，且x0时， 对一切整数p1，不等式(1x)p
7、1px均成立.,证明,则当nk1时，,则xpc，,数学归纳法证明不等式的适用范围及关键 (1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法. (2)关键：由nk时命题成立证nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.,证明,跟踪训练 (2018衡水调研)若函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过点P(4,5)，Qn(xn，f(xn)(nN*)的直线PQn与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2xnxn13.,证明 当n1时
8、，x12，f(x1)3，Q1(2，3). 所以直线PQ1的方程为y4x11，,即n1时结论成立. 假设当nk(k1，kN*)时，结论成立，即2xkxk13.,代入上式，令y0，,即xk1xk2，所以2xk1xk23， 即当nk1时，结论成立. 由知对任意的正整数n，2xnxn13.,题型三 归纳猜想证明,多维探究,解答,命题点1 与函数有关的证明问题 典例 (2018梅州质检)设函数f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数. (1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求gn(x)的表达式；,下面用数学归纳法证明.,假设当nk(k1，k
9、N*)时结论成立，,则当nk1时，gk1(x)g(gk(x),由可知，结论对nN*成立.,(2)若f(x)ag(x)恒成立，求实数a的取值范围.,解答,当a1时，(x)0(当且仅当x0，a1时等号成立)， (x)在0，)上单调递增. 又(0)0， (x)0在0，)上恒成立，,当a1时，对x(0，a1，有(x)0， (x)在(0，a1上单调递减， (a1)1时，存在x0，使(x)0，,综上可知，a的取值范围是(，1.,命题点2 与数列有关的证明问题 典例 (2018东营模拟)设数列an的前n项和为Sn，并且满足2Sn ， an0(nN*).猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明.,解答,解
10、分别令n1,2,3，得,an0，a11，a22，a33， 猜想：ann.,a20，a22. ()假设当nk(k2，kN*)时，akk，那么当nk1时，,即ak1(k1)ak1(k1)0， ak10，k2，ak1(k1)0， ak1k1，即当nk1时也成立. ann(n2)，显然当n1时，也成立， 故对于一切nN*，均有ann.,命题点3 存在性问题的证明,解答,(1)若b1，求a2，a3及数列an的通项公式；,再由题设条件知(an11)2(an1)21. 从而(an1)2是首项为0，公差为1的等差数列，,下面用数学归纳法证明上式： 当n1时结论显然成立.,所以当nk1时结论成立.,解答,(2)
11、若b1，问：是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nN*成立？证明你的结论.,则an1f(an).,下面用数学归纳法证明加强命题： a2nca2n11.,假设当nk(k1，kN*)时结论成立，即a2kf(a2k1)f(1)a2，即1ca2k2a2. 再由f(x)在(，1上为减函数，得cf(c)f(a2k2)f(a2)a31，故ca2k31. 因此a2(k1)ca2(k1)11. 这就是说，当nk1时结论成立.,先证：0an1(nN*). 当n1时，结论显然成立.,假设当nk(k1，kN*)时结论成立，即0ak1.,即0ak11. 这就是说，当nk1时结论成立. 故成立. 再证：a2na2n1
12、(nN*). ,有a2a3，即n1时成立. 假设当nk(k1，kN*)时，结论成立，即a2ka2k1.,由及f(x)在(，1上为减函数，得 a2k1f(a2k)f(a2k1)a2k2， a2(k1)f(a2k1)f(a2k2)a2(k1)1. 这就是说，当nk1时成立， 所以对一切nN*成立.,又由及f(x)在(，1上为减函数， 得f(a2n)f(a2n1)，即a2n1a2n2，,(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性. (2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明
13、”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.,跟踪训练 (2018西安模拟)已知正项数列an中，对于一切的nN*均有,证明,0an1， 故数列an中的任何一项都小于1.,(1)证明：数列an中的任意一项都小于1；,在数列an中，an0，,证明,下面用数学归纳法证明：当n2，且nN*时猜想正确. 当n2时已证；,当nk1时，猜想正确.,典例 (12分)数列an满足Sn2nan(nN*). (1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an； (2)证明(1)中的猜想. 思维点拨 (1)由S1a1算出a1；由anSnSn1算出a2，a3，a4，观察所得数值的特征猜出通项公式. (2)用数学归
14、纳法证明.,归纳猜想证明问题,答题模板,规范解答,答题模板,思维点拨,规范解答 (1)解 当n1时，a1S12a1，a11；,当n4时，a1a2a3a4S424a4，,(2)证明 当n1时，a11，结论成立. 5分 假设当nk(k1且kN*)时，结论成立，,那么当nk1时， 7分 ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak 2akak1， 2ak12ak. 9分,当nk1时，结论成立. 11分,答题模板 归纳猜想证明问题的一般步骤 第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般 结论； 第二步：验证一般结论对第一个值n0(n0N*)成立； 第三步：假设当nk(kn0，kN*)时结
15、论成立，证明当nk1时结论 也成立； 第四步：下结论，由上可知结论对任意nn0，nN*成立.,课时作业,1.(2018商丘周测)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”.那么，下列命题总成立的是 A.若f(1)1成立，则f(10)100成立 B.若f(2)4成立，则f(1)1成立 C.若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立 D.若f(4)16成立，则当k4时，均有f(k)k2成立,基础保分练,解析,答案,解析 f(k)k2成立时，f(k1)(k1)2成立， f(4)16时，有f(5)52，f(6)62，f(k)k
16、2成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,解析,答案,解析 由S1，S2，Sn可以发现由nk到nk1时，中间增加了两项 (k1)2k2(n，kN*).,(k1)2k2,1,2,3,4,5,6,7,8,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,下面利用数学归纳法证明.,假设当nk(k1，kN*)时，结论成立，,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,左边右边，不等式成立. 假设当nk(k2，且kN*)时不等式成立，,则当nk1时，,1,2,3,4,5,6,7,8,当nk1时，不等式也成立. 由知对于一切大于1的自然数n，不等式都成立.,1
17、,2,3,4,5,6,7,8,5.求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*).,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,证明 (1)当n1时，等式左边2，右边2，故等式成立； (2)假设当nk(k1，kN*)时等式成立， 即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)， 那么当nk1时， 左边(k11)(k12)(k1k1) (k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2) 2k135(2k1)(2k1)2 2k1135(2k1)(2k1)， 所以当nk1时等式也成立. 由(1)(2)可知，对所有nN*等式成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,(1)证明：xn是递减数列的充要条件
18、是c0；,技能提升练,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,证明 充分性：,所以数列xn是递减数列. 必要性：若xn是递减数列，则x2x1，且x10.,故xn是递减数列的充要条件是c0.,1,2,3,4,5,6,7,8,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,这就是说当nk1时，结论也成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,解答,(1)求a的值；,1,2,3,4,5,6,7,8,解得a1. 又因为a21，所以a1.,所以a21.,1,2,3,4,5,6,7,8,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,证明 用数学归纳法证明：,故当n2时，原不等式也成立.,1,2,3
19、,4,5,6,7,8,所以当nk1时，原不等式也成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,证明,拓展冲刺练,8.(2017浙江)已知数列xn满足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nN*). 证明：当nN*时， (1)0xn1xn；,1,2,3,4,5,6,7,8,证明 用数学归纳法证明xn0. 当n1时，x110. 假设当nk时，xk0， 那么当nk1时，若xk10， 则0xkxk1ln(1xk1)0，与假设矛盾， 故xk10， 因此xn0(nN*). 所以xnxn1ln(1xn1)xn1， 因此0xn1xn(nN*).,1,2,3,4,5,6,7,8,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,证明 由xnxn1ln(1xn1)得， xnxn14xn12xn,记函数f(x)x22x(x2)ln(1x)(x0).,函数f(x)在0，)上单调递增，所以f(x)f(0)0，,1,2,3,4,5,6,7,8,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,证明 因为xnxn1ln(1xn1)xn1xn12xn1，,1,2,3,4,5,6,7,8,