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例如,一、余子式与代数余子式,在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作,叫做元素 的代数余子式,例如,引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,例如,证,当 位于第一行第一列时,即有,又,从而,在证一般情形,此时,得,得,中的余子式,故得,(,),nn,j,n,nj,n,i,j,i,j,i,ij,j,i,a,a,a,a,a,a,a,D,L,L,M,M,M,L,L,M,M,M,L,L,1,1,1,1,1,0,0,1,-,-,-,-,-,+,-,=,于是有,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证,二、行列式按行（列）展开法则,例1,证,用数学归纳法,例2,证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,n-1阶范德蒙德行列式,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,同理,关于代数余子式的重要性质,例 计算行列式,解,按第一行展开，得,例 计算行列式,解,1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.,三、小结,思考题,求第一行各元素的代数余子式之和,思考题解答,解,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,