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1、 (i) (i) 设 的本征值本征值和本征函数本征函数为 lz 和（）, 本征值方程本征值方程为： 其解为： l l z z = = mm, , m m ( (磁量子数磁量子数) = 0, ) = 0, 1 , 1 , 2,)2,)(2-24) (2- 25) (ii)(ii) 设 的本征值 本征值和 本征函数本征函数分别为 和 , , , , 本征值方程本征值方程为： 回 顾 ： 本征值本征值: = = l l ( (l l+1)+1) 2 2 , l l（角量子数）= 0, 1, 2, 3,0, 1, 2, 3, (2- 27) 本征函数：本征函数：Y Y（ , , ）= = Y Yl l
2、, m , m（ （ , , ）（球谐函数） = = l, ml, m（ （ ） m m（ （ ） (2-28) 其中，m m（ （ ）是 的本征函数，满足(2-25)； 受 的影响， mm (磁量子数)=0, 0, 1, 1, 2,2, l l。 共 2 2l l 1 1个。 (2- 29) 2.42.4用定态薛定谔方程解氢原子问题用定态薛定谔方程解氢原子问题 2.4.1 哈密顿算符的本征值方程（定态薛定谔方程薛定谔方程） , 待求！ （r, r, , , ） 系统能量 E = Ek + V(r) ，。 分离变量分离变量： (r, ) = R（r）Y（, ） R Y （2-332-33） 将
3、（2-33）、（2-32）带入（2-30）, 得到： （2-322-32） 比较： (乘乘2 2 r r2 2 ，整理后整理后) 左边左边：r r 的函数； 右边 右边：（ , , ）的函数。 “左边 右边”要求：左边左边 右边右边 = -= - （常数）（常数） （2-342-34） 求解： 解（2-372-37）式（见数学物理方程），得： (i) 氢原子的本征值方程的求解氢原子的本征值方程的求解小结小结: : - 简并简并 : (一个能量本征值对应不同的本征函数) （2-402-40）（简简 简简并度并度） 因为： 在座标表象中在座标表象中, , E E，L L z z ，L L 2 2
4、能同时准确测量！ 所以： 2.5.2 2.5.2 氢原子中电子的概率分布氢原子中电子的概率分布 由： （）概率分布（）概率分布: : Y Yl,m l,m（ （ , , ）和）和 , , 的关系的关系 空间中， + +d d 内找到电子的慨率慨率 ： 空间中， + +d d 内找到电子的慨率慨率 ： 的关系列表见P56： 特点特点1 1：一个l值，有（2l1）个 函数。 特点特点2 2：同一l，不同的m值，球谐函数绝对值之和为 一常数常数: 特点特点3 3： 和 的关系见P56：上下对称上下对称; , 和 的关系：旋转对称旋转对称。 ：旋转对称旋转对称.m() 2 = 1/2 慨率密度慨率密度
5、： （2 2）概率分布：）概率分布： R Rn,l n,l （ （r r）和）和 r r 的关系的关系 在 r r 空间中，r r r r + drdr 中找到电子的概率： （2-412-41） 慨率密度慨率密度： (i) (i) 电子状态的标记电子状态的标记: : nlnl 分别用:s,p,d,f,g, 标志 l l = = 0,1,2,3,4, 的电子。 l l（角量子数）= 0, 1, 2, 3, n-1. (共共 n n 个值个值) (ii) 和 r 的关系 当 n n =1=1时，仅仅存在 1 1s s 电子，如右 图所示，其峰值在 r r = = a a 1 1 处; r r =
6、= a a 1 1 当 n n =2=2时, 存在2 2s s 和2 2p p电子, 对2 2p p, , 其最大值在r r =4 4a a 1 1 处。 （p电子） r r =4 4a a 1 1 （2s电子） 当 n n =3=3时，存在3 3s s , 3 , 3p p和3 3d d 电子, 对3 3d d ，其最大值在r r =9 9 a a 1 1 处; r r =9 9 a a 1 1 （s 电子）（p 电子） （d 电子） 特点特点：1 1，概率密度的峰值数 ( n-l )； 当 l =l max = n 1时， 峰值位置同玻尔理论, an = n2a1 2 2，峰值附近，概率密
7、度 0 。 玻尔的“轨道”概念是非常粗糙的。（电子云！） 其中，如果： （r r） （r r），称为偶宇称），称为偶宇称； （r r） （r r），称为奇宇称），称为奇宇称。 2.5.32.5.3 氢原子的宇称氢原子的宇称 (1) (1) 宇称宇称：对波函数 （r）做坐标反演，即：r r ； 如果： （r） （r），则称 （r r）有宇称）有宇称； 例1， （= - x）= 说明 没有宇称。 例2， 说明： 有偶宇称。 对氢原子，（r） n, l, m (r, , ) R n, l（r）Yl,m（, ） 例3， r r(r, , ) (r, , ) R n, l（r）不变（r 仅为长度） （r） n, l, m (r, , ) （r） 结论：结论：氢原子（r）的宇称由 l 确定。 可以证明：可以证明： （2 2）电偶极跃迁及选择定则）电偶极跃迁及选择定则 P21P2,1 ( 跃迁概率 A：自发发射系数) = 结论：偶极跃迁只能发生在不同宇称的量子态之间， 即：奇宇称奇宇称 偶宇称偶宇称 一般地（量子力学将证明）：偶极跃迁的选择定则 对 l l： l l 1 1；对 mm： mm 1, 0 1, 0 （讨论）