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1、直线与圆的常考题型,元一：张松兵,直线方程的几种形式,1、点斜式 y-y1=k(x-x1) 2、斜截式 y=kx+b 3、两点式 4、截距式 5、一般式 Ax+By+C=0,点到直线距离公式,圆的一般方程的定义：,圆的标准方程的定义：,点和圆的位置关系,点A在圆内,点B在圆上,点 C在圆外,d,设点到圆心的距离d，O 的半径为r,OA r,OB = r,OC r,|AB|最短、|AC|最长,定点与圆上的点的距离的最大值与最小值,|AB|最短、|AC|最长,定直线与圆上点的距离的最大值与最小值,题型：到圆上一点距离的最值问题,圆上的点到直线（或点）的最近（远）距离为圆心到直线（点）的距离减去（加
2、上）半径,平面几何中，直线与圆有三种位置关系：,（1）直线与圆相交，有两个公共点；,（2）直线与圆相切，只有一个公共点；,（3）直线与圆相离，没有公共点,直线与圆的位置关系,解法一：（求出交点利用两点间距离公式）,例：已知直线 y=x+1 与圆 相交于A,B两点，求弦长|AB|的值,例：已知直线 y=x+1 与圆 相交于A,B两点，求弦长|AB|的值,解法二：（弦长公式）,例：已知直线 y=x+1 与圆 相交于A,B两点，求弦长|AB|的值,解法三：解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形）,设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则,题型：求圆的切线方程的常用方法,(1)若点P(x0,y0)在圆C外
3、 过点P的切线有两条.这时可设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用圆心C到切线的距离等于半径求k.若k仅有一值,则另一切线斜率不存在,应填上.也可用判别式=0求k的值. (2)若点P(x0,y0)在圆C上 过点P的切线只有一条.利用圆的切线的性质,求出切线的斜率.代入点斜式方程 结论:若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过该点的切线方程是x0x+y0y=r2. 若点P(x0,y0)在圆(x-a) 2+(y-b) 2=r2上,则过该点的切线方程 是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.,例：已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程.
4、解:如右图所示,设切线的斜率为k,半径OM的斜率为k1. 因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是,例：求过一点P(-3,-2)的圆x2 + y2 +2x-4y+1=0的切线方程。 解：设所求直线为（）代入圆方程使得3/4 即所求直线为 提问：上述解题过程是否存在问题？,X=-3是圆的另一条切线,注意：在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系 若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条； 若点在圆外，切线应有两条； 若点在圆内，无切线,线性相关有关的最值问题的常用方法,(1)形如u 型的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率最值问题 (2)形如taxby型的最值
5、问题，可转化为动直线的截距的最值问题 (3)形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点（x,y) 到定点(a,b)的距离的最值问题 即 (xa)2(yb)2动点（x,y)到定点(a,b)的距离的平方,题型：判断点的个数问题,题型：最长弦、最短弦问题,例.已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（mR） （1）证明不论m取何值，直线l与圆恒交于两点 （2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程,（1）解法1：,解法2：,直线l与圆恒交于两点,解法3：,直线l的方程可化为（x+y-4）+m（2x+y-7）=0,因为圆心C（2，1）,所以点A在圆C的内部，从而直线l与圆恒交于两点,例.已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（mR） （1）证明不论m取何值，直线l与圆恒交于两点 （2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程,（2）解：若直线L交圆与B、D两点，则弦长,当弦长|BD|最小时，d最大，则lAC,得直线l的方程是2x-y-5=0,题型：数形结合问题,例：已知曲线C：y与直线l：y2xk，当k为何值时，l与C： 有一个公共点；有两个公共点；没有公共点,解析：曲线C：y(|x|1)如图所示,