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1、5.5 定积分在几何中的应用,一、 定积分的微元法,二、 平面图形的面积,三、 旋转体的体积,一、 定积分的微元法,第三步求和：,曲边梯形面积 A,第四步取极限：,n ， = maxxi 0，,如果把第二步中的 xi 用 x 替代，,中的被积分式 f (x)dx 具有类同的形式，,第二步取近似时其形式 f(xi)xi ，与第四步积分,xi 用 dx 替代，,那么它就是第四步积分中的被积分式，,第一步选取积分变量，,例如选取 x，,并确定其范围，,例如 x a, b，,在其上任取一个子区间记作 x, x + dx.,第二步取所求量 I 在子区间 x, x + dx 上的部分量 I 的近似值,I
2、f (x)dx，,第三步取定积分,基于此，我们把上述四步简化为三步：,几点说明：,(1) 取近似值时，,得到的是形如f (x)dx 的近似值，,并且要求 I - f (x)dx 是 dx 的高阶无穷小量，,关于后一个要求在实际问题中常常能满足.,(2) 满足 (1) 的要求后，,f (x)dx 是所求量 I 的微分，,所以第二步中的近似式常用微分形式写出，即,dI = f (x)dx ，,dI 称为量 I 的微元.,上述简化了步骤的定积分方法称为定积分的微元法.,计算由区间a, b上的两条连续曲线 以及两条直线x=a与x=b所围成的平面图形的面积。,由微元法，取x为积分变量， 其变化范围为区间
3、a, b，在 区间a, b的任意一个小区间 x, x+dx上，相应的面积可 以用 x点处的函数值,二、 平面图形的面积,为高,所以，所求平面图形的面积A为,以dx为底的矩形面积近似代替（如图），从而得到面积元素,解：作出所围成的平面图形,取x为积分变量，其变化区间 为0，1。于是，平面图形的面积,例 2 求出抛物线 y2 = 2x 与直线 y = x 4 所围成的平面图形的面积.,解 作草图，如图，,求抛物线与直线的交点，,即解方程组,得交点 A (2, - 2) 和 B (8, 4).,(8,4),(2,-2),于是,如果选择 x 为积分变量，,那么它的表达式就比上式复杂.,如果选择 y 作
4、积分变量，y - 2, 4，,x,y,A,B,(8,4),(2,-2),-2,4,y,y = x-4,y2 = 2x,y + dy,任取一个子区间 y, y + dy - 2, 4，,则在 y, y + dy 上的面积微元是,例 3 求 y = sinx， y = cos x，,解 由上述公式知,所围成的平面图形的面积.,也可以先作出该平面图形的草图，,如图，,就不必用公式了.,则直接可得,例 4 求椭圆 x = a cos t，y = b sin t 的面积，其中 a 0，b 0.,解 因为图形关于 x 轴、y 轴对称，,所以椭圆面积是它在第一象限部分的面积的四倍，,把 x = a cos
5、t，y = b sin t 代入上述积分式中，,上、下限也要相应地变换 (满足积分变量 t ).,由定积分的换元公式得,即,一个平面图形绕平面内的一条定直线旋 转一周所成的立体叫旋转体，这条定直线叫 做旋转轴。圆柱、圆锥、圆台、球体、球冠 都是旋转体。,计算由区间a、b上的连续曲线 、 两直线x=a与x=b及x轴所围成的曲边梯形 绕 x轴旋转一周所成的旋转体的体积。,三 、 旋转体的体积,由微元法，取x为积分变量，其变化范围为区间 a,b。在区间a,b的任意一个小区间x,x+dx上，相 应的薄旋转体的体积可以用以点x处的函数值f(x)为底 面半径，以dx为高 的扁圆柱体的体积近似代替，,从而得
6、到体积元素,所以，所求旋转 体的体积,类似地可得，由区间c,d上的连续曲线 , 两直线y=c与y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋 转一周所成的旋转体的体积为,例 5 求由椭圆,解 利用图形的对称性,只需考虑第一象限内,(一) 绕x轴：选取积分变量为 x 0, a，,所围图形分别绕,x 轴和y轴旋转所成的旋转体的体积.,任取一个子区间 x, x + dx 0, a，,的曲边梯形绕坐标轴旋转一周所成的旋转体的体积，,所求体积为该体积的2倍。,在子区间x , x + dx 上旋转体的微元为：,于是,dV1= py2 dx，,(二)绕y轴：选积分变量 y 0, b，任取子区间 y , y + dy 0, b.,在子区间 y , y + dy上体积的微元为,则,例 6 求 y = x2 与 y2 = x 所围图形绕 x 轴旋转所成的旋转体体积.,解 选积分变量 x 0, 1 (两曲线的交点为 (0, 0) 和 (1, 1) ，,任取子区间x, x + dx 0, 1，其上的体积的微元为,体积微元的求法,1. 曲线 与直线 所成的图形 的面积为 （ ）,2. 将第一象限内由x轴和曲线 与直线 所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积 等于 ( ),思考题,D,C,习题5-5 1（1）（3） 4 5,作业题,