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1、一、对坐标的曲线积分的概念与性质,二、对坐标的曲线积分的计算,10.2 对坐标的曲线积分,三、两类曲线积分之间的联系,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,变力沿曲线所作的功,质点在变力F(x y)P(x y)iQ(x y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B 求变力F(x y)所作的功,提示,把L分成n个小弧段 L1 L2 Ln,求功的过程,变力在Li上所作的功的近似值为,变力在L上所作的功的近似值为,变力在L上所作的功的精确值为,其中是各小弧段长度的最大值,F在Li上所作的功WiF(i i)si,光滑曲线,对坐标的曲线积分,设函数P(x y)、Q(x y)在有向光滑曲线弧L上有界 把L分成
2、n个有向小弧段L1 L2 Ln 其中Li是从(xi1 yi1)到(xi yi)的小弧段 记xixixi1 yiyiyi1 在小弧段Li上任取一点(i ) 令为各小弧段长度的最大值,对坐标的曲线积分,在积分中P(x y)、Q(x y)叫做被积函数 L叫做积分弧段,说明,对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分,对坐标的曲线积分,说明,设为空间内一条光滑有向曲线弧 函数P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)在上有定义 我们定义,对坐标的曲线积分的简写形式,在应用上经常出现的是,上式可记为,其中F(x y)P(x y)iQ(x y)j drdxidyj,类似地 有,其中AP(x y z)iQ
3、(x y z)jR(x y z)k drdxidyjdzk,对坐标的曲线积分的性质,性质1 设、为常数 则,性质2 若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧L1和L2,性质3 设L是有向光滑曲线弧 L是L的反向曲线弧 则,则,提示,二、对坐标的曲线积分的计算,质点在变力F(x y)P(x y)iQ(x y)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为,另一方面 在L上任取一小段有向弧 其起点和终点对应的参数分别为t和tdt 得功元素,F(t) (t)dr,dr(dx dy)(t)dt (t)dt),dW,设光滑有向曲线弧L的参数方程为x(t) y(t) 且L的起点和终点所对应的参数分别为和,图形,F
4、(t) (t)(P(t) (t) Q(t) (t),二、对坐标的曲线积分的计算,质点在变力F(x y)P(x y)iQ(x y)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为,另一方面 在L上任取一小段有向弧 其起点和终点对应的参数分别为t和tdt 得功元素,F(t) (t)dr,P(t) (t)(t)dtQ(t) (t)(t)dt,dW,设光滑有向曲线弧L的参数方程为x(t) y(t) 且L的起点和终点所对应的参数分别为和,于是,二、对坐标的曲线积分的计算,质点在变力F(x y)P(x y)iQ(x y)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为,设光滑有向曲线弧L的参数方程为x(t) y(t) 且L的
5、起点和终点所对应的参数分别为和,这说明对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算,定理(对坐标的曲线积分的计算公式),应注意的问题 下限a对应于L的起点 上限 对应于L的终点 不一定小于 ,设L由x(t) y(t)给出 L以t为起点以t 为终点 则,设空间曲线由x(t) y(t) z(t)给出 以t为起点以t 为终点 问,讨论,提示,设L由x(t) y(t)给出 L以t为起点以t 为终点 则,解,L分为AO和OB两部分,第一种方法 以x为积分变量,上从点A(1 1)到点B(1 1)的一段弧,设L由x(t) y(t)给出 L以t为起点以t 为终点 则,解,第二种方法 以y为积分变量,在L上 xy2 y
6、从1变到1 因此,上从点A(1 1)到点B(1 1)的一段弧,解：,例2 计算 其中L为圆周(xa)2y2a2(a0)及x轴所围 成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行).,LL1L2 其中,L1 xaacos t yasin t t从0变到,L2 xx y0 x从0变到2a,因此,(1)L yx2 x从0变到1 所以,解,(2)L xy2 y从0变到1 所以,(1)抛物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 (2)抛物线xy2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 (3)从O(0 0)到A(1 0) 再到B(1 1)的有向折线OAB,(3)OA y0 x从0变到1 AB
7、x1 y从0变到1,解,011,(1)抛物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 (2)抛物线xy2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 (3)从O(0 0)到A(1 0) 再到B(1 1)的有向折线OAB,解:,例4 求 其中为有向闭折线ABCA 这里的A B C依次为点(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1).,ABBCCA 其中,AB xx y1x z0 x从1变到0,BC x0 y1z zz z从0变到1,CA xx y0 z1x x从0变到1,故,提示,按逆时针方向移动到点B(0 b) F的大小与质点到原点的距离成正比 方向恒指向原点 求力F所作的功W,解,椭圆的参数
8、方程为xacost ybsint t从0变到 ,质点在点M(x y)处所受到的力为,例,5,一个质点,在力,F,的作用下从点,A,(,a,0),沿椭圆,按逆时针方向移动到点B(0 b) F的大小与质点到原点的距离成正比 方向恒指向原点 求力F所作的功W,解,质点在点M(x y)处所受到的力为,三、两类曲线积分之间的联系,说明 指向与有向曲线弧的走向一至的切向量称为有向曲线的切向量,设(cos cos)为光滑有向曲线弧L上点(x y)处的单位切向量 L的参数方程为x(t) y(t) L的起点和终点所对应的参数分别为a和b 则,三、两类曲线积分之间的联系,设(cos cos)为光滑有向曲线弧L上点(x y)处的单位切向量 L的参数方程为x(t) y(t) L的起点和终点所对应的参数分别为a和b 则,三、两类曲线积分之间的联系,设(cos cos)为光滑有向曲线弧L上点(x y)处的单位切向量 则,类似地 设(cos cos cos)为有向曲线弧上点(x y z)处的单位切向量 则,其中A(P Q R) drds(dx dy dz) dr称为有向曲线元,或,1、对坐标曲线积分的概念,2、对坐标曲线积分的计算,3、两类曲线积分之间的联系,小结,