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1、它必须能把“颗粒性”与 “波动性” 统一起来！,一般用复函数 代表微观粒子的波函数。,要具体应用物质波的概念，就要有物质波的波函数,24.1、 波函数及其统计意义,I大 光子出现概率大,I小 光子出现概率小,波动性: 某处明亮则某处光强大 即 I 大 粒子性: 某处明亮则某处光子多 即 N 大,光子数 N I E02,光子在某处出现的概率和该处光振幅的平方成正比,类比光的波粒二象性,代表什么？,24 量子力学初步,由于进行了量子力学的基本研究 特别是对波函数作出的统计解释,玻恩（M.Born),英籍德国人 (18821970）,1954年获诺贝尔物理学奖,24.1.2、波函数的统计铨释( 19
2、26 ) 量子力学的基本原理之一(基本假设),波函数的模方代表粒子空间分布的概率密度,空间概率分布的“概率幅”。,物质波的波函数 是描述粒子,1926年6月，玻恩（Born ) 在题为碰撞现象的量子力学中， 提出了物质波的统计意义，他认为：,物质波的波函数 是描述粒子在空间概率分布的“概率振幅”。,代表 t时刻，在 点处单位体积中发现一个粒子的概率，称为概率密度。,其模的平方：,t 时刻在 点附近dV 内发现粒子的概率：,自由粒子波函数,类比，沿+x传播的平面波：,可得, 沿+x方向运动的自由粒子波函数为：,式中,在三维空间中运动的自由粒子波函数：, 空间波函数,通常写成：,24.1.4、波函
3、数的态叠加原理,这里 c1 c2. cn 是任意复常数。,只开上缝 1，屏上概率分布 P1,只开下缝 2，屏上概率分布 P2,双缝 齐开，屏上概率分布 P12=P1+P2,（1）子弹穿过双缝,（2）电子双缝衍射,只开下缝,只开上缝,电子在屏上概率分布为,电子在屏上概率分布为,双缝 齐开, 电子可通过上缝也可通过下缝, 通过上、下缝各有一定的概率,、 都有,总的概率幅为,出现了双逢干涉花样。,是由于概率幅的线性叠加产生的。,即使只有一个电子，当双缝齐开时,两部分概率幅的叠加就会产生干涉。,微观粒子是波函数的叠加，而不是概率的叠加。,它的状态就要用 来描述，,2. 波函数的有限性,粒子在空间某处出
4、现的概率不能无限大,1. 波函数的单值性,任意时刻粒子在空间出现的概率只可能是一个值,24.1.3、波函数的标准化条件,概率不能在某处发生突变,3. 波函数的连续性,以上要求称为波函数的标准化条件,波函数的归一性：,根据波函数统计解释，在全空间各点的概率总和必须为1。,注意, 归一化条件,波函数可以允许包含一个任意的常数因子,对于概率分布来讲 重要的是相对概率分布,因为对于空间任意两点来说概率比值相同：,只要给出了初始条件， 下一时刻粒子的轨迹 是已知的。（决定论的）,经典力学,描述粒子：,量子力学,描述粒子：,不能预言粒子必然在哪里 出现，只能预言粒子出现 的概率。（非决定论的）,波函数统计
5、诠释涉及对世界本质的认识观念,哥本哈根学派-爱因斯坦 著名论战,量子力学背后隐藏着还没有被揭示的更基本的规律，这个规律对量子力学有新的解释。上帝不会掷骰（tou）子,波函数的概率解释是自然界的终极实质,玻尔、波恩、海森伯、费曼等,还有狄拉克、德布罗意等,海森伯 （W. K. Heisenberg，1901-1976）,德国理论物理学家。为量子力学的创立作出了最早的贡献，25岁时提出的不确定关系则与物质波的概率解释一起奠定了量子力学的基础。为此，他于1932年获得诺贝尔物理学奖金。,24.2 不确定关系,经典力学中，粒子所在力场的性质确定后，物体以后的运动位置就可确定。因此可用轨道来描述粒子的运
6、动。 微观粒子，具有显著的波动性，我们不能用经典的方法来描述它的粒子性。,以电子束单缝衍射为例,只计中央明纹区, 角宽度,一、位置和动量的不确定关系,位置不确定量：,电子如何进入中央明纹区的？,考虑次级极大：,位置和动量的不确定关系,1927年, 海森伯,一个微观粒子不能同时具有确定的坐标和确定的动量,1932年 Nobel Prize,h 经典和量子的分水岭,说明：,1） 微观粒子运动过程中，其坐标的确定程度与该方向上动量分量的确定程度相互制约,设有一个速度为V，质量为m的粒子，其能量,考虑到E的增量：,能量与时间不确定关系式,即：,二、能量与时间不确定关系,光谱研究证实了这一点,宽度越小的
7、能级越稳定,三、 不确定关系的意义 1. 波粒二象性的必然结果. 2. 说明经典描述手段对微观粒子不适用.,4. 不确定关系是统计关系的必然结果,5. 宏观与微观的分界线,经典.,注意：不确定关系不是实验误差，不是由于理论不完善或仪器不准确引起的。,解 ： 子弹的动量,例 1 一颗质量为10 g 的子弹，具有 的速率 . 若其动量的不确定范围为动量的 则该子弹位置的不确定量范围为多大?,动量的不确定范围,位置的不确定量范围,例2 一电子具有 的速率, 动量的不确范围为动量的 0.01% 则该电子的位置不确定范围有多大?,解 电子的动量,动量的不确定范围,位置的不确定量范围,解：,例：光谱线的自
8、然宽度,谱线的自然宽度,若原子处于激发态能级的寿命,则,例：氦氖激光器发光的波长632.8nm, 谱线宽度 , 求光子沿运动方向的位置不确定量 .,例：电子在显像管中的运动,加速电压U=102V，电子准直直径为0.1mm,可看成经典粒子,奥地利物理学家，1887年8月12日出生在奥地利首都维也纳。父亲是漆布厂厂主。幼年时受到了良好的教育，由于他聪明过人，基础好，上学时成绩一直名列前茅。23岁时获哲学博士。1921年受聘于瑞士的苏黎世大学任数学物理教授，在那里工作了6年，薛定谔方程就是那时提出的。1933年。薛定谔和狄拉克分享了该年度的诺贝尔奖金。薛定谔除了在物理，特别是量子力学方面的贡献外，还
9、把量子力学理论应用于生命现象，发展了生物物理这一边缘科学。他还发表过诗集。,24.3 薛定谔方程 (量子力学基本原理之二）,24.3.1.1 自由粒子的薛定谔方程,具有一定能量和动量的粒子相联系的是一个单色平面波：,质量为m,动量为p,能量为E的自由粒子沿x轴运动,其波函数,利用在非相对论下能量和动量的关系,可得,一维运动自由粒子的含时薛定谔方程,- 自由粒子的含时薛定谔方程,三维,24.3.1. 2 在保守力场中粒子的薛定谔方程,一维,可得,势场中一维运动粒子的含时薛定谔方程,三维,三维势场中运动粒子的含时薛定谔方程,讨论: 1) 薛定谔方程是量子力学中的一项基本假设。,2) 薛定谔方程是线
10、性齐次微分方程，保证了态的线性叠加性在时间进程中保持不变。,3) 薛定谔方程是关于时间的一阶偏微分方程；知道初始时刻波 函数，就可以确定以后任何时刻的波函数。,24.3.2.定态薛定谔方程,则代入薛定谔方程的一般表达式,得：,令上式两边同时等于一常数 E , 则,左边:,特解,右边:,- 一般的定态薛定谔方程,一维,势阱内,则,其通解,势阱外,（有限条件）,三 一维无限深方势阱问题,式中 A, 为待定系数,与本征值 En 对应本征函数,（单值，连续条件）,（归一化条件）,E1,a,0,X,势阱内,阱外,讨论：,(1) 无限深方势阱中粒子能量量子化 n是量子数，En 是能量本征值，又称能级.,(
11、2) 无限深方势阱粒子能谱为离散能谱，能级分布不均匀 n越大,能级间隔越大。,其余称为激发态,(3) 概率密度分布不均匀,当 n 时过渡到 经典力学,在某些极限条件下,量子规律可以转化为经典规律。,量子物理的对应原理,四 对应原理,在某些极限条件下,量子规律可以转化为经典规律,量子物理的对应原理,相邻能级间隔,能级的相对间隔,能量连续,量子规律转化为经典规律,例,五 一维方势垒 隧道效应,1. 散射问题和势垒穿透,定态问题有两种态,束缚态： (一维 ) x时 ,(x)0，EU(x), 离散能量,散射态： (一维 ) x 时, (x)0，能量连续,对散射问题,已知粒子能量 E, 求解定态薛定谔方
12、程解. - 粒子受势场作用被散射到个方向去的概率,2 .势垒 隧道效应,考虑 EEp0 的情况 研究穿透问题,Ep0 0 ,Ep(x),x,0,a,Ep0,上述各方程的解,入射 反射,衰减,入射 (反射),无反射,求 A1 ,B1 ,-.,入射波的概率密度,透射波的概率密度,连续条件,由波函数的标准条件：,穿透系数,Ep(x),x,0,a,Ep0,考虑,讨论(1) 设粒子为 e Ep-E=1ev 则当 a = 2x10-10m D 0.44 a = 5x10-10 m D 0.016 质子 Ep-E = 1ev a = 2x10-10 m D 2x10-38,当 m, Ep-E 及 a 为微观
13、尺度时,(特别对于 e )穿透系数有一定值. 若为宏观尺度 D 0,势垒穿透(隧道效应)是一种微观现象,是粒子波动性的表现 .,穿透系数,(2) 从经典力学的观点看,在势垒区,动能为负值,动量将为虚数, (经典理论不允许,称隧道效应佯缪).,佯缪不存在：能量不能分离成动能和势能(测不准关系),经典理论不适用于微观现象.,(3) 当 E Ep或E Ep 经典 粒子一定越过或不越过势垒 量子力学 有透射与反射,势垒穿透隧道效应：,粒子将部分被势垒反射, 部分穿透势垒, - 隧道效应或势垒贯穿,隧道特征长度,隧道效应已完全被实验证实, 并制成扫描隧道显微镜,例,对电子计算,m=9.110-31kg,
14、则对不同的势垒宽度a,D的数量级,扫描隧道显微镜年由 G.Binig 和H.Rohrer 首先研制成功,针尖非常尖锐,接近原子尺寸. 针尖与表面接近到零点几毫米时,电子波 函数重叠,若加一小的直流电位差,出现 隧道电流 I ,电流对针尖 表面距离 d 十分敏感, d 增加0.1 nm , I 减小一个数量级.保持 I 不变,针尖的轨道提供了表面电子云分布或原子分布状况.,横向分辨率达到 0.1 nm, 纵向分辨率达到 0.001 nm 可以分辨出表面单个原子和原子台阶,原子结构,超晶格结构,表面缺陷细节,观测活体 DNA 基因,病毒.,六 谐振子,1. 线性谐振子定态薛定谔方程,2. 波函数
15、在 的渐进行为,很大时，,2,取,3. 满足束缚态边界条件的级数解,代入方程， 得到 u() 所满足的厄米微分方程：,通解可写成,u() 必须中断为有限项多项式, 必要条件 =2n+1(奇数) , n=0,1,2,-,- 厄米多项式,4. 能量本征值的零点能,零点能(基态能量)为:,5. 能量本征函数和宇称,线性谐振子定态波函数为,4. 能量本征值的零点能,图 线性谐振子的位置概率密度分布,图 线性谐振子的波函数,讨论,1.由图可见,2. 量子力学n较小时, 位置的概率密度分布与经典完全不同. 随着 n, 如n=11时量子和经典在平均上比较符合.,3. 一维谐振子能级和概率密度分布,可以看出,U=U(x)以外概率密度不为0,隧道效应,相对能级间隔,当,能量可以连续变化（经典）,例1: 求线性谐振子在第一激发态时, 概率最大的位置.,解: 第一激发态波函数为,令,小结: 1.,2. 无量纲化,3. 波函数 在 的渐进行为,用级数法解,4，,5，级数发散，为使,有限，中断,能量量子化,取,讨论,1. 能量量子化 能量本征值的 零点能,零点能(基态能量)为:,2，波函数 能量本征函数 宇称,线性谐振子定态波函数为,3. 量子力学n较小时, 位置的概率密度分布与经典完全不同. 随着 n, 如n=11时量子和经典在平均上比较符合.,