《第三章数学物理定解问题1.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三章数学物理定解问题1.ppt（24页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2019/8/26,1,第三章 数学物理定解问题,3.1 数学物理方程的导出 3.2 定解条件 3.3 数学物理方程的分类 3.4 无限长弦的定解问题-达朗伯公式,（计划授课6学时）,第三章 数学物理定解问题1,2019/8/26,第三章 数学物理定解问题1,2,第三章 数学物理定解问题,物理量u(x,y,z,t) (各种场、声压、杂质浓度等) 随时间、空间变化规律，称为物理规律；物理规律用偏微分方程表达出来，叫做数学物理方程(数理方程)。,求解具体问题需要(空间上的)边界条件以及(时间上的)初始条件，二者合称为定解条件。,数理方程本身(不带定解条件)给出同类物理现象的共性，称为泛定方程。,给
2、定定解条件，求解数理方程，叫做数学物理的定解问题，简称定解问题。,2019/8/26,第三章 数学物理定解问题1,3,3.1 数学物理方程的导出,导出步骤：,确定研究的物理量u； 从研究的系统中划出一小部分作为研究对象(隔离法)； 根据物理规律分析这一小部分和邻近部分的相互作用； 分析相互作用对物理量u的影响； 将这种影响简化成数学表达式。,2019/8/26,第三章 数学物理定解问题1,4,常见的数理方程分为三类：,1.双曲型：utt=a2du.,2.抛物型：ut=a2du.,3.椭圆型：du=0.,1.波动方程,2.输运方程,3.稳定场方程,物理,数学,其中，a为参数，d=1, 2, 3为
3、体系维数，一些符号为,d称为d维Laplace算符。,2019/8/26,第三章 数学物理定解问题1,5,1、均匀弦的微小振动,设一根绷紧的均匀、柔软弹性弦，弦上相邻小段之间有沿切线方向的张力。静止状态下将弦视为无重量的直线(线密度为)，取为x轴。,研究对象：选取x到x+dx的一小段B，弧长为ds。,物理量：弦上各点的垂直于x的横向位移，记为u=u(x,t)，utt为横向加速度。,弦的每个小段没有纵向运动(即x方向)，纵向合力为零。,2019/8/26,第三章 数学物理定解问题1,6,仅考虑微小振动，即a1和a2为小量，则有,因此弧长可近似为,(1),由牛顿第二定律,可见微小振动也指(ux)2
4、1.,2019/8/26,第三章 数学物理定解问题1,7,(2),式(2)说明张力不随x变化，记为T1= T2=T，因此,又因为 ，所以,其中参数a2=T/，量纲为 ，因此a就是振动在弦上传播速度.,(3),在微小振动的条件下，即(ux)21，式(1)简化为,2019/8/26,第三章 数学物理定解问题1,8,如果弦在振动过程中还受到外加横向力的作用，则式(1)修改为,其中F(x,t)表示单位长度上弦所受到的横向力，量纲为F=N/L。,其中f(x,t)=F(x,t)/称为力密度，量纲为f=N/M，即单位质量上的横向外力。,同样考虑弦的微小振动，得到,(4),式(4)称为弦的受迫振动方程； 而式
5、(3)称为弦的自由振动方程。,2019/8/26,第三章 数学物理定解问题1,9,2、均匀杆的纵振动,物理量：纵向位移u(x,t).,研究对象：如图所示的B段.,两端的位移分别记为u(x,t)和u(x+dx,t)，则B段的伸长为：,相对伸长为,不同点相对伸长不同，B两端的相对伸长分别为 和 ，根据胡克定律，两端的应力(单位面积上的作用力)为,2019/8/26,第三章 数学物理定解问题1,10,比例系数Y为杨氏模量。于是根据牛顿第二定律，B端的运动方程为,上式两边同除Sdx，得到杆的纵振动方程,其中a2=Y/，形式上与Eq. (3)完全相同，a为纵振动在杆中传播的速度。,为杆的密度，S为杆的横
6、截面。,(5),2019/8/26,第三章 数学物理定解问题1,11,3、扩散方程,扩散现象：是输运过程之一。由于浓度(单位体积中的分子数或质量)的不均匀，物质从浓度大的地方向浓度小的地方转移的现象。,扩散问题研究的物理量是浓度u(x,y,z,t)，它的梯度u表示浓度不均匀程度。,扩散流强度 ，描述扩散运动的强弱，即单位时间通过单位面积的粒子数或质量。不同空间点扩散流强度不同。,扩散现象遵从扩散定律(斐克Fick定律)：,2019/8/26,第三章 数学物理定解问题1,12,研究对象：小六面体,物理规律：扩散定理和粒子数守恒定律(或质量守恒定律).,其中，D是扩散系数，与物质类型和温度有关。,
7、(6),写成分量形式为,扩散方向：假定沿x，y，z正方向，如图中箭头所示。,2019/8/26,第三章 数学物理定解问题1,13,即假定x流入、x+dx流出物质，流量分别为 和 ，二者之差为单位时间内沿x方向净“增”的粒子数目， 即,同理，单位时间内y、z方向净“增”的粒子数目分别为,2019/8/26,第三章 数学物理定解问题1,14,若小六面体dxdydz内没有“源”或“汇”，根据粒子数守恒，单位时间内体元净“增”的粒子数等于浓度(或粒子数)的增加，即,其中u/t为浓度的时间增长率，即单位时间、单位体积内增加的粒子数.,上式两边同除dxdydz ，就得到三维扩散方程：,(7a),2019/
8、8/26,第三章 数学物理定解问题1,15,若扩散是均匀的，即D是常数，上式简化为,(7b),若仅在x方向扩散，则Eqs. (7a), (7b)可简化为一维形式,其中a2=D.,(8a),(8b),半导体掺杂中，杂质分子基本上沿垂直于硅片表面的方向向深处扩散。局部上，这类扩散可视为一维问题。,2019/8/26,第三章 数学物理定解问题1,16,有“源”或“汇”情况，引入扩散源强度F(x,y,z,t)，即单位时间单位体积产生的粒子数.,如果扩散源强度F与浓度u无关，则Eqs. (7a)和(7b)分别改写为,(2) 若扩散源强度与浓度成正比，F=b2 u，则,(9a),(9b),(10a),(1
9、0b),F0为“源”; F0为“汇”.,2019/8/26,第三章 数学物理定解问题1,17,热传导现象：输运过程之一。由于温度不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移的现象。,此外，热传导过程还需满足能量守恒定律。,其中k是比例系数，叫做热传导系数，与物质类型有关。,4、热传导方程,研究的物理量有：1)温度 u(x,y,z,t)，它的梯度u给出温度不均的程度；2) 热流强度 ，即单位时间内通过单位截面的热量。根据半经验公式，热传导过程遵从热传导定律,(11),与扩散方程的推导完全类似，研究3d空间一个体元dxdydz的热量流动情况。,2019/8/26,第三章 数学物理定解问题1,18,
10、沿x、y、z方向，单位时间内的净增热量分别为,在没有“热源”或“热汇”时，根据能量守恒，上面净“增”热量等于体元温度变化所需吸取的热量，即,(12),(13),其中c为比热，为体密度，dxdydz为体元的质量，ut为单位时间内温度改变.,2019/8/26,19,于是得到3维热传导方程,对均匀物体，c, , k是常数，上式简化为,比热：单位质量的某种物质温度升高1吸收的热量，叫做这种物质的比热，记为c。 公式： Q=cmt，其中Q为温度改变t所需热量，m为质量。,(14a),(14b),其中d是维数。,第三章 数学物理定解问题1,2019/8/26,20,有“源”有“汇”的情况，相应的热传导方
11、程(14a)式修改为,对于均匀物体，热传导系数k为常数，则Eq. (14b)改为,其中,其中， F(x,y,z,t)为热源强度，为单位时间、单位体积中产生的热量.,(15a),(15b),第三章 数学物理定解问题1,2019/8/26,21,扩散问题中，若扩散源强度F不随时间改变，经过足够长的时间，浓度u将不随时间变化，即 ut=u/t=0，,于是有扩散方程，式(9a) 写为,若D为常数，得到泊松方程,(16b),没有源或汇，得到拉普拉斯方程,(16c),5、稳定浓度分布,(16a),第三章 数学物理定解问题1,2019/8/26,22,如果热源强度F不随时间变化变化,经过足够长的时间，温度将不随时间变化，即 ，则热传导方程,若k为常数，得到泊松方程：,如果没有“热源”，则方程化为拉普拉斯方程：,6、稳定温度分布,第三章 数学物理定解问题1,2019/8/26,23,由静电场无旋性，存在一个标量函数u，使得,其中u称为电势函数。将Eq. (16)代入E=/0中，得,这就是静电场方程，即泊松方程。 当静电场某一区域内没有电荷，即=0，得拉普拉斯方程：,7、静电场,静电场是有源无旋场，即,(17),第三章 数学物理定解问题1,P121 1. 2. 3.,2019/8/26,24,第三章 数学物理定解问题1,作业,