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1、概率复习,一.一维随机变量:,离散型随机变量:随机变量X,取值只有有限个或可数个.,离散型随机变量分布列:X取值为 x1,x2,且 称为随机变量X的分布列.满足:,结束,1,随机变量:取值由随机试验的结果决定的变量,分为连续型和离散型两大类.由多个随机变量组成的向量称为随机向量或多元随机变量.,分布列常用一维表格表示:,称X为连续型随机变量, f (x)为X的分布密度或密度函数. 它有:,结束,2,知道了密度函数f (x),就可以解决任何事件的概率计算:,一元随机变量的分布函数F (x)=P(Xx),连续型随机变量:存在非负可积的函数 f (x),对任意实数 x ,有,F(x)有如下性质:,对
2、连续型随机变量X,若其密度函数为 f (x),则:,结束,3,例:7件产品4件一等品,3 件二等品,从中任取 3 件,求 1) 含有一等品件数 X 的分布列; 2) X 的分布函数; 3) 至少含有 1 件一等品的概率.,1) X可能的取值是 0,1,2,3;,X的分布列:,结束,4,2) 按分布函数的定义:,3),结束,5,二.常用分布,1.0-1分布: XB(1,p),属离散型,描述只有两个状态的随机实验.,结束,6,2.二项分布: XB(n,p),属离散型,描述只有两个状态的多次随机实验.也称为n重贝努利分布.n=1时,就是0-1分布.,结束,7,3.泊松分布: XP(),属离散型,描述
3、随机到达现象.,4.均匀分布: XU(a,b),属连续型.X在a,b内连续地机会均等地取值,其密度函数为:,结束,8,其分布函数为:,5.指数分布:XE(),属连续型.常用于描述人或物的寿命问题,其密度函数为:,6.正态分布:XN(a,2),属连续型.大量随机变量的分布近似于正态分布,是最重要的分布之一,其密度函数为:,N(0,1)称为标准正态分布,其密度函数为:,结束,9,标准正态分布的分布函数为:,这个积分较难计算,可查书后的表1得到.,1.数学期望:,结束,10,三.随机变量的数字特征,X是离散型:,X是连续型,其密度函数是 f(x):,期望EX有如下性质:,2.方差:DX=E(X-EX
4、)2,结束,11,X是离散型:,X是连续型,其密度函数是 f(x):,方差表示随机变量对于其重心(期望)的离散程度,它的计算一般用如下公式:,结束,12,方差DX有如下性质:,四.常用分布的数字特征:,结束,13,二.多维随机变量及其分布,n 维随机变量常记为:,特别地, 2 维随机变量常记为:,它们也分为连续型和离散型.,1. 以 2 维离散随机变量(X,Y )为例,它的联合分布列为:,它也可表示为一个二维表(矩阵),结束,14,随机变量X 的分布列为:,随机变量Y 的分布列为:,称为(X,Y) 的边缘分布列,有,结束,15,当然也有,2. 多 维连续型随机变量 1) 联合分布密度:,对 X
5、 有非负可积函数 和实数,称为随机变量X的联合分布密度:,对二 维连续型随机变量(X,Y), 联合分布密度为 f(x,y):,结束,16,2) 边缘分布密度:,3. 多维随机变量分布函数(以二维为例),4. 多维随机变量独立性(以二维为例),1) 离散型,结束,17,2) 连续型,称 X,Y 相互独立,三.大数定律与中心极限定理,独立同分布,记,且已知 则有大数定律:,即 依概率收敛到 ,即,即不管 Xi 服从什么分布,当 n 相当大时,它们的均值接近于 它们的数学期望,结束,18,独立同分布,记,则有中心极限定理:,即,即不管 Xi 服从什么分布,当 n 相当大时,它们的均值 近似地服从正态分布.,结束,19,结束,20,5.协方差,相关系数:,协方差,相关系数的性质:,结束,21,1)协方差矩阵:,定义B1:协方差矩阵,结束,22,结束,23,2)定义B2:随机向量X的相关系数矩阵,3)协方差矩阵和相关系数矩阵的性质:,结束,24,6.多元正态分布,定义B3:多元正态分布,结束,25,多元正态分布的性质:,