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1、 By Xiaojun Wang,有限单元法 的基本概念和理论基础,王晓军 航空科学与工程学院固体力学研究所, By Xiaojun Wang,有限元法的基本思想,(1) 有限元法，也叫有限单元法，它的基本思想是将一个结构或连续体的求解域离散为若干个子域（单元），并通过它们边界上的结点相互联结成为组合体。,（a）三角形单元,（b）四边形单元,二维结构的有限元离散, By Xiaojun Wang,（a）四面体单元,（b）六面体单元,三维实体的有限元离散,有限元法的基本思想, By Xiaojun Wang,(2) 有限元法用每一个单元内所假设的近似函数来分片地表示全求解域内待求的未知场变量。而
2、每个单元内的近似函数由未知函数或其导数在单元各个结点上的数值和与其对应的插值函数来表示。由于在联结相邻单元的结点上，场函数应具有相同的数值，因而将它们用作数值求解的基本未知量。这样一来，求解原来待求场函数的无穷自由度问题转换为求解场函数结点值的有限自由度问题。 (3) 有限元法是通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件）等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量（场函数的结点值）的代数方程组或微分方程组。此方程组称为有限元求解方程，并表示成规范的矩阵形式。接着用数值方法求解此方程，从而得到问题的解答。,有限元法的基本思想, By Xiaojun Wang,某型飞机前机身Catia模型图,有
3、限元法的应用实例, By Xiaojun Wang,某型飞机前机身有限元模型图,有限元法的应用实例, By Xiaojun Wang,某型飞机全机有限元模型图,有限元法的应用实例, By Xiaojun Wang,结构离散（有限元建模） 内容： 1）网格划分-即把结构按一定规则分割成有限单元 2）边界处理-即把作用于结构边界上约束和载荷处理 为结点约束和结点载荷 要求： 1）离散结构必须与原始结构保形-单元的几何特性 2）一个单元内的物理特性必须相同-单元的物理特性,有限元法的基本概念, By Xiaojun Wang,单元与结点,单元：即原始结构离散后，满足一定几何特性和物理特性的最小结构域
4、 结点：单元与单元间的连接点。 结点力：单元与单元间通过结点的相互作用力 结点载荷：作用于结点上的外载荷 注意： 1) 结点是有限元法的重要概念，有限元模型中，相邻单元的作用通过结点传递，而单元边界不传递力，这是离散结构与实际结构的重大差别； 2) 结点力与结点载荷的差别,结点载荷,结点力,有限元法的基本概念,非法结构离散,有限元法的基本概念, By Xiaojun Wang,典型单元类型,有限元法的基本概念, By Xiaojun Wang,插值函数（或位移函数）,有限元法的基本概念,用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数。由于该近似函数常由单元结点物理量值插值构成，故称为插值
5、函数，如单元内物理量为位移，则该函数称为位移函数。 选择位移函数的一般原则： 1）位移函数在单元结点的值应等于结点位移（即单元内部是连续的）； 2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。 注： 为了便于微积分运算，位移函数一般采用多项式形式，在单元内选取适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解。, By Xiaojun Wang,有限元法的收敛准则,收敛准则： 1) 位移函数必须包括单元的刚性位移（即常量项）； 2) 位移函数必须包括常量应变（即线性项）； 3) 位移函数在单元内部必须连续（连续性条件）； 4) 位移函数应使得相邻单元间的位移协调（协调性条件）；,在单元形状、结点个数确
6、定之后，单元的位移模式的选取是影响解答的关键。当位移模式满足下述准则时，解答一定是收敛的，即随着单元尺寸的缩小，解答趋于精确解。,注： 上述四个条件称为有限元解收敛于真实解的充分条件；前三个条件称为必要条件。满足四个条件的位移函数构成的单元称为完备协调元；满足前三个条件的单元称为非协调元；满足前两个条件的单元称为完备元。, By Xiaojun Wang,影响有限元解的误差： 1) 离散误差 边界上以直线代曲线导致离散化模型与实际物体的差异。 单元数目计算量 2) 位移函数误差 一般情况下单元位移函数不可能与实际单元的位移场一致。 3) 计算机计算误差 计算机字长的限制、相差悬殊的数值加减运算
7、。,有限元法的收敛准则, By Xiaojun Wang,研究问题的力学建模 结构离散 单元分析 整体分析与求解 结果分析及后处理,力学模型 (平面应力问题),有限元模型,有限元法的基本步骤, By Xiaojun Wang,微分方程组,边界条件,A, B为微分算子,为体积域或面积域等 为域的边界,应力场-弹性力学 温度场-热传导 电磁场-电磁学 流速场-流体力学,场问题的一般描述, By Xiaojun Wang,应力,作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用
8、记号 来表示。 体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。 弹性体受外力以后，其内部将产生应力。, By Xiaojun Wang,弹性体内微小的平行六面体PABC，称为体素,PA=dx, PB=dy, PC=dz 每一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行 正应力 剪应力,应力, By Xiaojun Wang,为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，正应力 是作用在垂直于x轴的面上同时也沿着x轴方向作用的。,加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作
9、用方向沿着哪一个坐标轴。例如，剪应力 是作用在垂直于x轴的面上而沿着y轴方向作用的。,正应力,剪应力,应力, By Xiaojun Wang,应力的正负 如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。 相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴正方向为负。,应力, By Xiaojun Wang,剪应力互等定律 作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。,由力矩平衡得出,简化得,剪应力互等,应力, By
10、 Xiaojun Wang,考虑微元体各个面上的法向应力和剪应力与其体力平衡，注意应力从一个面到对面是变化的，即有增量，将作用于微元体各个方向的力求和，略去高阶项，可得平衡方程：,平衡微分方程, By Xiaojun Wang,可以证明：如果 这六个量在P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量。 一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标x、y、z的函数。 六个应力分量的总体，可以用一个列向量来表示：,应力分量, By Xiaojun Wang
11、,弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并不是定值，而是坐标的函数。,位移及应变、几何方程、刚体位移, By Xiaojun Wang,体素的变形可以分为两类： 一类是长度的变化，一类是角度的变化。 任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变(或称正应变)，用符号 来表示。沿坐标轴的线应变，则加上相应的角码，分别用 来表示。当线素伸
12、长时，其线应变为正。反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应力的正负号规定相对应。 任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化值称为角应变或剪应变，用符号 来表示。两坐标轴之间的角应变，则加上相应的角码，分别用 来表示。规定当夹角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应(正的 引起正的 ，等等)。,应变, By Xiaojun Wang,考察了体素在XOY一个平面内的变形情况，可得,考察体素在XOZ和YOZ平面内的变形情况，可得：,联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间的关系。,应变分量与位移分量的关系, By Xiaojun Wang,可以证明，如果弹性体内任一点，已知
13、这三个垂直方向的正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正应变和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它的最大和最小正应变。因此，这六个量可以完全确定该点的应变分量，它们就称为该点的应变分量。六个应变分量的总体，可以用一个列向量来表示：,应变分量向量, By Xiaojun Wang,由几何方程可见，当弹性体的位移分量完全确定时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状的物体，可能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，试在几何方程中令： 有： 积分后，得 式中的 是积分常数,刚体位移, By Xiaojun Wang,如果弹性体的
14、各面有剪应力作用，任何两坐标轴的夹角的改变仅与平行于这两轴的剪应力分量有关，即得到： 式中G称为剪切模量，它与弹性模量E，泊松系数 存在如下的关系： 正应变与剪应变是各自独立的。因此，由三个正应力分量与三个剪应力分量引起的一般情形的应变，可用叠加法求得，如左式，称为弹性方程或物理方程，这种空间状态的应力应变关系称为广义虎克定律。,应力应变关系物理方程, By Xiaojun Wang,将应变分量表示为应力分量的函数，可称为物理方程的第一种形式。若将其改写成应力分量表为应变分量的函数的形式，可得物理方程的第二种形式：,应力应变关系物理方程, By Xiaojun Wang,用矩阵的形式表示如下：
15、,可简写为：,应力应变关系物理方程, By Xiaojun Wang,D称为弹性矩阵，它完全决定于弹性常数E和。,应力应变关系物理方程, By Xiaojun Wang,弹性力学的基本方程和相应的边界条件，把弹性力学问题归结为在给定边界条件下求解偏微分方程的边值问题。自从建立弹性力学以来，人们用各种偏微分方程的解法求得了许多弹性力学问题的解析解。然而，随着工业技术的发展，工程结构的形状也越来越复杂，很多问题得不到解析解，因而需求助于数值解，而变分原理则是许多数值解的基础。弹性力学问题，在数学上就是空间连续场的确定问题。变分法就是把它归结为一个泛函变分的极值问题或驻值问题。,变分原理, By X
16、iaojun Wang,讨论一个连续介质问题的“变分原理”首先要建立一个标量泛函，它由积分形式确定,其中u是未知函数，F和E是特定的算子，是求解域，是的边界。 称为未知函数u的泛函，随函数u的变化而变化。连续介质问题的解u使泛函对于微小的变化u取驻值，即泛函的“变分”等于零,这种求得连续介质问题解答的方法称为变分原理或变分法。,变分原理与微分方程和边界条件是两种等价的表达形式，一方面满足微分方程及边界条件的函数将使泛函取极值或驻值，另一方面从变分的角度来看，使泛函取极值或驻值的函数正是满足问题的控制微分方程和边界条件的解答。,变分原理, By Xiaojun Wang,将虚功原理用于弹性变形时
17、，总功W要包括外力功(T)和内力功(U)两部分，即： W = T - U ；内力功(-U)前面有一负号，是由于弹性体在变形过程中，内力是克服变形而产生的，所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。 根据虚功原理，总功等于零得： T - U = 0 即，外力虚功 T = 内力虚功 U 弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功(外力功)等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功(内力功)。,虚功原理,其中 即为系统的总势能，它是弹性体变形势能和外力势能之和。上面变分为零式表明：在所有区域内满足几何关系，在边界上满足给定位移条件的可能位移中，真实位移使系统的总势能取驻值(可证明此驻值为最小值)。,根据虚功原理得到：,则,最小势能原理,由, By Xiaojun Wang,有限元平衡方程,由单元位移函数,单元内的应变和应力分别为,和,将位移、应力和应变代入势能泛函有,根据最小势能原理，势能泛函取驻值的必要条件, By Xiaojun Wang,有限元平衡方程,上式可写成,其中,单元平衡方程,单元刚度矩阵,单元等效结点力向量,式中,体积力等效结点力,面力等效结点力,集合所有单元的平衡方程，建立整个结构的平衡方程,