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1、2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,1,高阶导数、隐函数求导、参数方程求导,重点：求导法则、高阶导数的定义,难点：高阶导数的具体求法,关键：高阶导数的求导顺序,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,2,第三节 高阶导数,1.如果 的导数存在，称为 的二阶导数 记作： ， 或,2. 仍是x的函数，还可以进一步考虑 有三阶导数 或 ， 四阶导数 或 ， n阶导数 或 .,一、基本概念,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,3,3.f(x)在x处有n阶导数，那么 在x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数；二阶及二阶以上的导数统称高阶导数,4.问题：如何求
2、函数的高阶导数？ 一步一步来，利用已知函数的一阶导数公式及运算法则,高阶导数应用举例,解,例1 y=ax+b, 求,例2 求,解,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,4,例3 证明:函数 满足关系式,证 将 求导,得,2、应用,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,5,于是,下面介绍几个初等函数的n阶导数,例4 求指数函数 的n阶导数,解,例5 求正弦与余弦函数的n阶导数,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,6,解,一般地,可得,即,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,7,用类似方法,可得,例6 求对数函数ln(1+x)的n阶导数,
3、解,一般地,可得,即,通常规定0!=1,所以这个公式当n=1时也成立.,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,8,例7 求幂级数的n阶导数公式,一般地,可得,即,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,9,高阶导数运算法则,(3)称为莱布尼兹公式,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,10,例8,解,代入莱布尼茨公式,得,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,11,第四节 隐函数及由参数方程所确定,的函数的导数 相关变化率,重点：隐含数、参数方程求导方法 难点：隐含数、参数方程求导方法的应用，对数求导法的应用。特别注意参数方程的高阶导数的求
4、法。,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,12,第四节 隐函数及由参数方程所确定,一、隐函数的导数,二、由参数方程所确定的函数的导数,三、相关变化率,的函数的导数 相关变化率,四、小节,五、作业,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,13,一、隐函数的导数,1 复习:函数的表示法 1.直接表示: 解析式 y=f(x) xD, 这样描述的函数称为显函数,2 间接表示 (1)由一个方程F(x,y)=0 所确定的函数 例 可确定函数 , (2)由两个方程确定(带一个中间变量)参数方程: t是参数 方法(1)表示的函数称为隐函数.,把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显
5、化.,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,14,2 隐函数的定义,一般地,如果变量x和y满足一个方程F(x,y)=0,在一定条件下当x取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的y值存在,那么就说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数,例1 求由方程 所确定的隐函数的导数,解 我们把方程两边分别对x求导数,注意y=y(x), 方程左边对x求导得,方程右边对x求导得,所以,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,15,从而,注意:在这个结果中,分式中的y=y(x)是由方程 所确定的隐函数,例2 求由方程 所确定的隐函数x=0处的 导数,因为当x=0时,从
6、原方程得y=0,所以,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,16,例3 求椭圆 在点 处的切线方程(图2-6),解 由导数的几何意义知道,所求切线的斜率为,当x=2时, 代入上式得,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,17,例4 求由方程 所确定的隐函数的二阶导数,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,18,3. 对数求导法*,适用范围:,下面通过例子来说明这种方法,例5,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,19,一般地,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,20,幂指函数 也可表示成,这样,便可直接求得,2019/8/
7、26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,21,例6 求 的导数,解 用下面方法，使计算简单 两边取对数(假定 x4 ), 得,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,22,当2x3时,用直接计算的方法可得与上面相同的结果。,当x1时,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,23,例7,解：,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,24,二、由参数方程所确定的函数的导数,求导方法,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,25,由复合函数及反函数的求导法则得,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,26,2019/8/26,泰山医学院信息工
8、程学院 刘照军,27,解 当 时,椭圆上的相应点 的坐标是:,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,28,曲线在 点的切线斜率为:,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,29,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,30,在求速度的方向,也就是轨迹的切线方向 设 是切线的倾角,则根据导数的几何意义,得,所以,在抛射体刚射出(即t=0)时,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,31,解,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,32,三、相关变化率,相关变化率的定义:,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,33,解,仰角增加率,即观察员视线的仰角增加率是0.14rad/min,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,34,四、小节 本节主要讲述了高阶导数的求法、隐含数 求导、参数方程求导问题，在具体应用时， 注意变换关系。,2019/8/26,泰山医学院信息工程学院 刘照军,35,五、作业 CT2-3 P103 1 8) 9）11) 12) CT2-4 p111 3 3) 4) 4* 10,