《北师大版高中数学导学案《等差数列的概念及通项公式》 .doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版高中数学导学案《等差数列的概念及通项公式》 .doc（54页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2等 差 数 列第1课时等差数列的概念及通项公式知能目标解读1.通过实例，理解等差数列的概念，并会用等差数列的概念判断一个数列是否为等差数列.2.探索并掌握等差数列的通项公式的求法.3.体会等差数列与一次函数的关系，能用函数的观点解决等差数列问题.4.掌握等差中项的定义，并能运用它们解决问题.5.能用等差数列的知识解决一些实际应用问题.重点难点点拨重点：等差数列的概念.难点：等差数列的通项公式及其运用.学习方法指导1.等差数列的定义（1）关于等差数列定义的理解，关键注意以下几个方面：如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列不是等差
2、数列.一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同，当这些常数不同时，此数列不是等差数列.求公差时，要注意相邻两项相减的顺序.d=an+1-an(nN+)或者d=an-an-1 (nN+且n2).（2）如何证明一个数列是等差数列?要证明一个数列是等差数列，根据等差数列的定义，只需证明对任意正整数n,an+1-an是同一个常数(或an-an-1 (n1)是同一个常数).这里所说的常数是指一个与n无关的常数.注意:判断一个数列是等差数列的定义式：an+1-an=d(d为常数).若证明一个数列不是等差数列，可举一个特例进行否定，也可以证明a
3、n+1-an或an-an-1 (n1)不是常数，而是一个与n有关的变数即可.2.等差数列的通项公式（1）通项公式的推导常用方法：方法一（叠加法）：an是等差数列，an-an-1=d,an-1-an-2=d,an-2-an-3=d,a3-a2=d,a2-a1=d.将以上各式相加得：an-a1=(n-1)d,an=a1+(n-1)d.方法二(迭代法)：an是等差数列，an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=a1+(n-1)d.即an=a1+(n-1)d.方法三（逐差法）：an是等差数列，则有an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+(a
4、2-a1)+a1=a1+(n-1)d.注意：等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题的常用方法，应注意体会并应用.（2）通项公式的变形公式在等差数列an中，若m，nN+，则an=am+(n-m)d.推导如下：对任意的m,nN+，在等差数列中，有am=a1+(m-1)dan=a1+(n-1)d 由-得an-am=(n-m)d,an=am+(n-m)d.注意：将等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d变形整理可得an=dn+a1-d，从函数角度来看，an=dn+(a1-d)是关于n的一次函数(d0时)或常数函数(d=0时)，其图像是一条射线上一些间距相等的点，其中公差d是该射线所在直线的斜率，
5、从上面的变形公式可以知道，d= (nm).（3）通项公式的应用利用通项公式可以求出首项与公差;可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项;若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数.3.从函数角度研究等差数列的性质与图像由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可知其图像是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是些正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.当d0时，an为递增数列，如图（甲）所示.当d0时，an是数列；当d=0时，an是数列；当d0时，an是数列.答案1.差同一个常数2.a与b的等差中项3.（1）an-an-1
6、=d(常数)(2)等差数列（3）4.an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)d5.递增常递减思路方法技巧命题方向等差数列的定义及应用例1判断下列数列是否为等差数列.（1）an=3n+2；（2）an=n2+n.分析利用等差数列定义，看an+1-an是否为常数即可.解析(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(nN+).由n的任意性知，这个数列为等差数列.(2)an+1-an=(n+1) 2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常数，所以这个数列不是等差数列.说明利用定义法判断等差数列的关键是看an+1-an得到的结论是否是一个与n无关的常数，若是，即为等差数列，若不是，
7、则不是等差数列.至于它到底是一个什么样的数列，这些不再是我们研究的范畴. 1 n=1变式应用1试判断数列cn，cn= 是否为等差数列. 2n-5n2解析c2-c1=-1-1=-2,cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2(n2).cn+1-cn(n1)不等于同一个常数，不符合等差数列定义.cn不是等差数列.命题方向等差数列通项公式的应用例2已知数列an为等差数列，且a5=11,a8=5,求a11.分析利用通项公式先求出a1和d，再求a11，也可以利用通项公式的变形形式an=am+(n-m)d求解.解析解法一：设数列an的首项为a1,公差为d，由等差数列的通项公式及已知，得 a1+4d=1
8、1 a1=19 解得 .a1+7d=5 d=-2a11=19+(11-1)(-2)=-1.解法二：a8=a5+(8-5)d,d=-2.a11=a8+(11-8)d=5+3(-2)=-1.说明(1)对于解法一，根据方程的思想，应用等差数列的通项公式先求出a1和d，确定通项，此法也称为基本量法.(2)对于解法二，根据通项公式的变形公式为：am=an+(m-n)d,m,nN+，进一步变形为d=，应注意掌握对它的灵活应用.变式应用2已知等差数列an中，a10=29,a21=62,试判断91是否为此数列中的项. a10=a1+9d=29解析设等差数列的公差为d,则有 ， a21=a1+20d=62解得a
9、1=2,d=3.an=2+(n-1)33n-1.令an3n-1=91,得n=N+.91不是此数列中的项.命题方向等差中项的应用例3已知a,b,c成等差数列，那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列？分析已知a,b,c成等差数列，由等差中项的定义，可知a+c=2b,然后要证其他三项a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列，同样考虑等差中项.当然需用到已知条件a+c=2b.解析因为a,b,c成等差数列，所以a+c=2b,又a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)=a2c+c2a-2abc=ac(
10、a+c-2b)=0,所以a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a),所以a2(a+c),b2(c+a),c2(a+b)成等差数列.说明本题主要考查等差中项的应用，如果a,b,c成等差数列，则有a+c=2b;反之，若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.变式应用3已知数列xn的首项x1=3,通项xn=2np+nq(nN,p,q为常数)，且x1、x4、x5成等差数列.求：p,q的值.分析由x1、x4、x5成等差数列得出一个关于p,q的等式，结合x1=3推出2p+q=3,从而得到p,q.解析由x1=3,得2p+q=3,又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得325p+
11、5q=25p+8q,由得q=1,p=1.说明若三数a,b,c成等差数列，则a+c=2b,即b为a,c的等差中项，这个结论在已知等差数列的题中经常用到.探索延拓创新命题方向等差数列的实际应用例4某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解析由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an,则an-an-1=-20,(n2,nN),每年获利构成等差数列an,且首项a1=200,公差d=-20,所以an=a1+(n-1)d=200+(n-1)
12、(-20)=-20n+220.若an0,则该公司经销这一产品将亏损，由an-20n22011,即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损.说明关于数列的应用题，首先要建立数列模型将实际问题数列化.变式应用42012年将在伦敦举办奥运会，伦敦将会有很多的体育场，为了实际效果，体育场的看台一般呈“辐射状”.例如，某体育场一角的看台座位是这样排列的：第一排有150个座位，从第二排起每一排都比前一排多20个座位，你能用an表示第n排的座位数吗？第10排可坐多少人？分析分析题意知，看台上的每一排的座位数组成了一个等差数列.解析由题意知，每排的座位数组成了一个首项为a1=150,公差为d=20的等差数列，a
13、n=a1+(n-1)d=150+(n-1)20=20n+130,则a10=330,即第10排可坐330人.名师辨误做答例5已知数列an,a1=a2=1,an=an-1+2(n3).（1）判断数列an是否为等差数列？说明理由；（2）求an的通项公式.误解（1）an=an-1+2,an-an-1=2(为常数)，an是等差数列.（2）由上述可知，an=1+2(n-1)=2n-1.辨析忽视首项与所有项之间的整体关系，而判断特殊数列的类型是初学者易犯的错误.事实上，数列an从第2项起，以后各项组成等差数列，而an不是等差数列，an=f(n)应该表示为“分段函数”型.正解（1）当n3时，an=an-1+2
14、,即an-an-1=2.当n=2时，a2-a1=0不满足上式.an不是等差数列.（2）a2=1,an=an-1+2(n3)，a3=a2+2=3.a3-a2=2.当n3时，an-an-1=2.an=a2+(n-2)d=1+2(n-2)=2n-3,又a1=1不满足此式. 1 (n=1)an= .2n-3 (n2)课堂巩固训练一、选择题1.（2011重庆文，1）在等差数列an中,a2=2,a3=4,则a10=（）A.12B.14C.16D.18答案D解析该题考查等差数列的通项公式，由其两项求公差d.由a2=2,a3=4知d=2.a10=a2+8d=2+82=18.2.已知等差数列an的通项公式an=
15、3-2n,则它的公差为（）A.2B.3C.2D.3答案C解析an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),公差为2，故选C.3.方程x2-6x+1=0的两根的等差中项为（）A.1B.2C.3D.4答案C解析设方程x2-6x+1=0的两根为 x1、x2,则x1+x2=6.其等差中项为=3.二、填空题4.在等差数列an中，a2=3,a4=a2+8,则a6=.答案19解析a2=3,a4=a2+8, a1+d=3 a1=-1 , 解得 .a1+3d=a1+d+8 d=4a6=a1+5d=-1+20=19.5.已知a、b、c成等差数列，那么二次函数y=ax2+2bx+c(a0)的图像与x轴的交点有 个.
16、答案1或2解析a、b、c成等差数列，2b=a+c,又=4b2-4ac=(a+c) 2-4ac=(a-c)20.三、解答题6.在等差数列an中，已知a5=10,a12=31,求通项公式an. a1+4d=10 a1=2解析由题意得 , 解得 .a1+11d=31 d=3an=-2+(n-1)33n-5.课后强化作业一、选择题1.等差数列1，-1，-3，-5，-89，它的项数为（）A.92B.47C.46D.45答案C解析a1=1，d=-1-1=-2,an=1+(n-1)(-2)=-2n+3,由-89=-2n+3，得n=46.2.如果数列an是等差数列，则（）A.a1+a8a4+a5D.a1a8=
17、a4a5答案B解析设公差为d,则a1+a8-a4-a5=a1+a1+7d-a1-3d-a1-4d=0,a1+a8=a4+a5.3.已知数列3,9,15,3(2n-1),那么81是它的第（）A.12项B.13项C.14项D.15项答案C解析由3(2n-1)=81,解得n=14.4.在等差数列an中，a2=-5,a6=a4+6,则a1等于（）A.-9 B.-8 C.-7 D.-4答案B a1+d=-5解析由题意，得 ，a1+5d=a1+3d+6解得a1=-8.5.数列an中，a1=2,2an+1=2an+1,则a101的值是（）A.49B.50C.51D.52答案D解析由2an+1=2an+1得a
18、n+1-an=，an是等差数列,首项a1=2,公差d=,an=2+ (n-1)= ,a101=52.6.已知a=,b=,则a,b的等差中项为（）A. B. C. D. 答案A解析=.7.设数列an是递增等差数列，前三项和为12，前三项积为48，则它的首项为（）A.1B.2C.4D.3答案B a1+a2+a3=12 a1+a3=8解析由题设 ，,a2=4,a1a2a3=48 a1a3=12a1,a3是一元二次方程x2-8x+12=0的两根，又a3a1,a1=2.8.an是首项为a1=4,公差d=2的等差数列，如果an=2012,则序号n等于（）A.1003B.1004C.1005D.1006答案
19、 C解析 a1=4,d=2,an=a1+(n-1)d=4+2(n-1)=2n+2,2n+2=2012,n=1005.二、填空题9.三个数lg(-),x,lg(+)成等差数列，则x=.答案0解析由等差中项的运算式得x=0. 10.一个等差数列的第5项a2=10,且a1+a2+a3=3,则a1=,d=.答案-2,3 a5=a1+4d=10 a1+4d=10 a1=-2解析由题意得 , 即 ， . a1+a1+d+a1+2d=3 a1+d=1 d=311.等差数列an的前三项依次为x，2x+1，4x+2，则它的第5项为.答案4解析2(2x+1)=x+(4x+2),x=0,则a1=0,a2=1,d=a
20、2-a1=1,a5=a1+4d=4.12.在数列an中，a1=3，且对于任意大于1的正整数n，点（,）在直线x-y-=0上，则an=.答案3n2解析由题意得 - =,数列是首项为，公差为的等差数列， =n,an=3n2.三、解答题13.在等差数列an中：(1)已知a5=-1,a8=2,求a1与d;(2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9. a1+(5-1)d=-1 a1=-5解析(1)由题意知 ，解得 .a1+(8-1)d=2 d=1 a1+a1+(6-1)d=12 a1=1（2）由题意知 ，解得 ，a1+(4-1)d=7， d=2a9=a1+(9-1)d=1+82=17.14.已知函数f
21、(x)= ，数列xn的通项由xn=f(xn-1) (n2,且nN+)确定.(1)求证：是等差数列；(2)当x1=时，求x100.解析(1)xn=f(xn-1)= (n2,nN+)，所以=+，-= (n2,nN+).所以是等差数列；(2)由(1)知的公差为.又因为x1=,即2.所以=2+(n-1)，=2+(100-1)=35.所以x100=.15.已知等差数列an中，a5+a6+a7=15,a5a6a7=45,求数列an的通项公式.分析显然a6是a5和a7的等差中项，可利用等差中项的定义求解a5和a7，进而求an.解析设a5=a6-d,a7=a6+d,则由a5+a6+a7=15,得3a6=15,
22、a6=5. a5+a7=10 a5=1 a59由已知可得 ，解得 或 a5a7=9 a7=9 a7=1当a5=1时，d=4,从而a1=-15,an=-15+(n-1)4=4n-19.当a5=9时，d=-4,从而a1=25.an=25+(n-1)（-4）4n+29.所以数列an的通项公式为an=4n19或an=-4n+29.16.第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算.(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；(2)2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？解析(1)由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896
23、为首项，4为公差的等差数列，这个数列的通项公式为an=1896+4(n-1)=1892+4n(nN+).（2）假设an=2008，由2008=1892+4n,得n=29.假设an=2050,2050=1892+4n无正整数解.所以2008年北京奥运会是第29届，2050年不举行奥运会.第2课时等差数列的性质知能目标解读1.掌握等差数列的项与序号的性质.2.理解等差数列的项的对称性.3.能够熟练应用等差数列的性质解决有关实际问题.重点难点点拨重点：等差数列的性质.难点：应用等差数列的性质解决一些实际问题.学习方法指导1.等差数列的公差与斜率的关系（1）一次函数f(x)=kx+b(k0)的图像是一
24、条直线，斜率k= (x1x2).当k=0时，对于常数函数f(x)=b,上式仍然成立.（2）等差数列an的公差本质上是相应直线的斜率.特别地，如果已知等差数列an的任意两项an,am,由an=am+(n-m)d,类比直线方程的斜率公式得d= (mn).2.等差数列的“子数列”的性质若数列an是公差为d的等差数列，则（1）an去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列；（2）奇数项数列a2n-1是公差为2d的等差数列；偶数项数列a2n是公差为2d的等差数列；（3）若kn是等差数列，则akn也是等差数列.知能自主梳理1.等差数列的项与序号的性质（1）两项关系通项公式的推广：an=am+(m、nN+
25、).(2)多项关系项的运算性质：若m+n=p+q(m、n、p、qN+)，则=ap+aq.特别地，若m+n=2p(m、n、pN+)，则am+an=.2.等差数列的项的对称性有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和（若有中间项则等于中间项的2倍），即a1+an=a2+=ak+=2a (其中n为奇数且n3).3.等差数列的性质（1）若an是公差为d的等差数列，则下列数列：c+an(c为任一常数)是公差为的等差数列；can(c为任一常数)是公差为的等差数列；ank(kN+)是公差为的等差数列.(2)若an、bn分别是公差为d1、d2的等差数列，则数列pan+qbn(p、q是常数)
26、是公差为的等差数列.答案1.(n-m)dam+an2ap2.an-1an-k+13.dcdkdpd1+qd2思路方法技巧命题方向运用等差数列性质an=am+(n-m)d(m、nN+)解题例1若数列an为等差数列，ap=q,aq=p(pq)，则ap+q为（）A.p+qB.0C.-(p+q) D.分析本题可用通项公式求解.利用关系式an=am+(n-m)d求解.利用一次函数图像求解.答案B解析解法一：ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d, a1+(p-1)d=qa1+(q-1)d=p-，得（p-q）d=q-p.pq,d=-1.代入，有a1+(p-1)(-1)=q,a1=p+q-1.故
27、ap+q=a1+(p+q-1)d=p+q-1+(p+q-1)(-1)=0.应选B.解法二：ap=aq+(p-q)d,q=p+(p-q)d,即q-p=(p-q)d.pq,d=-1.故ap+q=ap+(p+q-p)d=q+q(-1)=0.应选B.解法三：不妨设p0,d=1,故所求的四个数为-2，0，2，4.解法二：若设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d(公差为d)，依题意，2a+3d=2,且a(a+3d)=-8,把a=1-d代入a(a+3d)=-8,得（1-d）(1+d)=-8,即1-d2=-8,化简得d2=4,d=2或-2.又知四个数成递增等差数列，d0,d=2,a=-2.故所求的四个数为
28、-2，0，2，4.说明此题设法很重要，一般地有如下规律：（1）若所给等差数列为2n(nN+)项，则可设为： a-(2n-1)d,a-3d,a-d,a+d,a+3d,a+(2n-1)d,此数列的公差为2d.(2)若所给等差数列的项数为2n-1(nN+)项,则这个数列可设为：a-(n-1)d,a-d,a,a+d,a+(n-1)d,这个数列的公差为d.变式应用3已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数.解析设这五个数依次为a-2d,a-d,a,a+d, a+2d,由题意，得5a=5 (a-2d) 2+(a-d)2+a2+(a+d) 2+(a+2d) 2 = a=1解得 d2= a=1
29、 d=故这五个数为-，1，或，1，-.名师辨误做答例4在等差数列an中，已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6=.误解39a2+a3=13,a5=a2+a3=13,a4+a5+a6=3a5=39.辨析误解过程中，a2+a3=a5是错误的，在运用等数列的性质“若m+n=p+q(m、n、p、qN+)，则am+an=ap+aq”的过程中，一定要明确条件“m+n=p+q(m、n、p、qN+)”的内在含义.正解42设公差为d,a2+a3=13,2a1+3d=13,又a1=2,d=3.a4+a5+a6=3a5=3(a1+4d)=42.课堂巩固训练一、选择题1.已知an为等差数列，a2+a8=1
30、2，则a5等于（）A.4B.5C.6D.7答案C解析an为等差数列，a2+a8=2a5,2a5=12,a5=6.2.如果等差数列an中，a3+a4+a5=12,那么a1+a2+a7=（）A.14B.21C.28D.35答案C解析a3+a4+a5=12，3a4=12,a4=4.a1+a2+a7=(a1+a7)+(a2+a6)+(a3+a5)+a4=7a4=28.3.等差数列an中，a4+a5=15,a7=12,则a2=（）A.3B.-3C. D.- 答案A解析a4+a5=15,a2+a7=a4+a5=15,又a7=12.a2=3.二、填空题4.在等差数列an中，a3=7,a5=a2+6，则a6=
31、.答案13解析设公差为d,a5=a2+6,a5-a2=3d=6,a6=a3+3d=7+6=13.5.等差数列an中，若a2+a4022=4,则a2012.答案2解析an为等差数列，2a2012=a2+a4022,a2012=2.课后强化作业一、选择题1.已知等差数列an中，a3=5,a5=9,则a7=（）A.11B.12C.13D.14答案C解析设公差为d,a5-a3=2d,2d=4,又a7=a5+2d=9+4=13.2.在等差数列an中，a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8=（）A.45B.75C.180D.300答案C解析由a3+a7=a4+a6=2a5，得a3+a7+a4+
32、a6+a5=5a5=450,a5=90.a2+a8=2a5=180.3.下列命题中正确的是（）A.若a,b,c成等差数列，则a2,b2,c2成等差数列B.若a,b,c成等差数列，则log2a,log2b,log2c成等差数列C.若a,b,c成等差数列，则a+2，b+2,c+2成等差数列D.若a,b,c成等差数列，则2a，2b,2c成等差数列答案C解析a,b,c成等差数列，2b=a+c,2b+4=a+c+4,即2（b+2）=(a+2)+(c+2),a+2,b+2,c+2成等差数列.4.已知等差数列an中，a7+a916,a4=1，则a12等于（）A.15B.30C.31D.64答案A解析a7+a9=2a8=16,故a8=8.在等差数列an中，a4,a8,a12成等差数列，所以a12=2a8-a4=16-1=15.5.已知等差数列an满足a1+a2+a3+a101=0,则有（）A.a1+a1010 B.a2+a1000C.a3+a1000 D.a51=0答案D解析由题设a1+a2+a3+a101=101a51=0,a51=0.6.等差数列an中,a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则a3+a6+a9的值为（）A.30B.27C.24D.21答案B