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1、,第一章 随机过程基本知识, 随机过程的定义 随机过程的有限维分布族及数字特征 随机过程的分类与举例,重点 随机过程的定义、数字特征,要求（1）准确理解随机过程的定义，熟悉研究 随机过程的方法 (2)熟练求出样本函数、有限维分布、 数字特征、特征函数 难点 有限维分布,例1. 考察 0，t0时间内某网站收到的访问次数(t), 则(t) (Xt0)是一个随机变量,如果要长时间内该网站的访问次数, 则需要让t 变化起来,即t趋于无穷大,则 (t)是一族随机变量,此时(t) 是与时间有关系的随机变量，称 (t), t0,）是随机过程,1 随机过程的定义,X(t) 或 Xt表示相同的意思,1.引例,其
2、中 为常数，服从0,2上的均匀分布.,若要观察任一时刻t的波形，则需要用一族随机变量(t)描述.,则称(t)，t0 ，+)为随机过程,例. 具有随机初位相的简谐波,由于初位相的随机性，在某时刻tt0， (t0)是一个随机变量,例.生物群体的增长问题.以t表示在时刻t某种 生物群体的个数,则对每一个固定的t,t是一 个随机变量,如果从t开始每隔24小时对群体的个数观 察一次，则对每一个t，t是一族随机变量 也记为n，n，.,则称t ,t, 2 , . 是随机过程,例4. 在天气预报中, 以Xt 表示某地区第t次统计所得 到的最高气温,则Xt 是一个随机变量.,为了预报该地区未来的气温,要让t趋于
3、无穷大, 则可得到一族随机变量: Xt , t=0,1,2,，,称t，t，2，.， 是随机过程,以上4个例子的共同特点是: 对某参数集中的任意一个参数t,就有一个 随机变量X(t)与之对应.,2.随机过程定义,若对每一 t T,均有定义在(,F,P)上的一个 随机变量X(,t),()与之对应,则称X(,t)为(,F,P)上的一个随机过程(S.P.),记X(,t), , tT, 简记X(t),tT,或X(t)，Xt.,设(,F,P)为一概率空间,T为一参数集,T R,T称为参数集或参数空间, t称为参数,一般表示时间或空间.,参数集通常有以下形式: T=0,1,2,或 T= -2,-1,0,1,
4、2, T=a,b,其中a 可以为, b可以为+.,当参数集为形式时,随机过程X(t)也称为 随机序列.,(3) T=0,+ R,当参数集为形式(3)时,随机过程X(t)也称为 随机场.,1. X(,t),实质上为定义在T上的二元单值函数.,2.对每一个固定的t, X(t)为一随机变量(r.v.). tT时. 该随机变量所有可能取值的集合,称为随机过程的 状态空间.记为S. S中的元素称为状态.,3.对每一个确定的0,X(0,t)是定义在T上的普通函数. 记为 x(0,t), 称为为随机过程的一个样本函数.也称轨道或实现.样本函数的图形称为样本曲线,说明: 设X(,t), , tT为一S.P.,
5、3.样本轨道：固定 称为一条样本轨道,样本轨道的连续性：设X=Xt()：t T是一个取实值过程（S=R），则称该过程：,(1) 以概率1连续（过程X有连续样本轨道）：,(2) 以概率连续（过程X随机连续）：,(3) 以Lp连续（L2连续也叫均方连续）：,状态空间S=0,1,2,., T=0,+),例1的样本曲线与状态,状态空间S=-A,A,参数集T=-,+ ,例2 的样本曲线与状态,状态X(t0)=18,状态X(t0)=25,样本曲线x1(t),样本曲线x2(t),例3 的样本曲线与状态,状态X(t0)=40,样本曲线x3(t),状态空间S=0,1,2,., T=0,24,),4.分类根据参数
6、集与状态空间离散与否,随机过程可分为,离散参数,离散状态的随机过程 (例3) 离散参数,连续状态的随机过程 (例4) 连续参数,离散状态的随机过程 (例1) 连续参数,连续状态的随机过程 (例2),参数集为离散的随机过程也称为随机序列， 或时间序列,2 随机过程的有限维分布函数族,设X(t),tT是S.P.,1.一维分布函数,对任意tT, X (t)为一随机变量.称其分布函数 F (t ; x)=P(X(t) x), x R 为随机过程X(t),tT的一维分布函数.,一.有限维分布函数,2.二维分布函数,对任意固定的t1,t2T, X (t1) ,X (t2)为两个随机变量.称其联合分布函数
7、F (t1,t2; x1, x2)=P(X(t1) x1, X(t2) x2 ), x1, x2R 为随机过程X(t),tT的二维分布函数.,对任意固定的t1,t2, ,tnT, X (t1) ,X (t2), X (tn)为n个随机变量.称其联合分布函数 F (t1,t2 ,tn ; x1, x2, xn) = P(X(t1) x1, X(t2) x2 X(tn) xn ) x1 x2, xn R 为随机过程X(t),tT的n维分布函数.,3. n维分布函数,F (t1,t2 ,tn ; x1, x2, xn)= Ft1,t2 ,tn (x1, x2, xn),称随机过程X(t),tT的一维
8、分布函数,二维分布函数,n维分布函数,的全体 为随机过程的有限维分布函数族.,有限维分布函数族定义,注: 有限维分布函数族能够描述随机过程的 统计特性.,有限维分布函数族的性质,对称性,相容性,设mn,则,注: 随机过程的统计特性还可以用另一种工具描述, 即随机过程的有限维特征函数族 (后面补充介绍),本节内容举例,例1.设随机过程 X(t)=Vcost,t(-,+),其中为常数,V服从0,1上的均匀分布. 确定X(t),t(-,+)的两个样本函数. 求t=0,t=3/4时,随机变量的概率密度函数. 求t= 2 时X(t) 的分布函数.,解,(1) 取V=1/2, 1/3分别得到两个样本函数,
9、(2),(3),例2 设随机过程 X(t)=A+Bt, t0,其中A,B 是相互独立的随机变量,且都服从标准正态分布N(0,1).求该随机过程的一维和二维分布,解,对任意的t0, X(t)=A+Bt, 有题意知X(t)是正态分布.,又 EX(t)=0, DX(t)=1+t2,所以S.P.的一维分布为X(t) N(0,1+t2),又对任意的t10, t20, X(t1)=A+Bt1 N(0,1+t12), X(t2)=A+Bt2 N(0,1+t22),(定理 正态变量的线性变换是正态变量),由A,B独立知, (A,B)服从二维正态分布,所以( X(t1), X(t2) ) 也服从二维正态分布,所以协方差矩阵为,而( X(t1), X(t2) ) 的均值向量为 =(0, 0),所以该S.P.的二维分布为,例3.,其中A具有以下概率分布,试求 (1)该S.P.的一维分布函数,(2)该S.P.的二维分布函数,解,例4.利用重复掷硬币的试验定义一个随机过程,出现正面与反面的概率相等., 求X(t)的一维分布函数F(1/2; x),F(1; x). 求X(t) 的二维分布函数F(1/2,1; x1,x2).,例5.利用掷一枚硬币的试验定义一个随机过程,