《第二节定积分在几何上的应用.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二节定积分在几何上的应用.ppt（75页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第六章 定积分的应用,第二节 定积分的几何应用,x,y,o,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,平面图形面积,图形区域为：,情形1：,X型:垂直于x轴的直线穿过区域，与边界最多交两点，上下交点始终在固定曲线上,且区域被夹在两直线中间.,则面积,图形区域为：,Y型:穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点，左右交点始终在固定曲线上，且区域被夹在两直线中间.,情形2：,则面积,若图形区域如图，既不是X-型，又不是Y-型,利用面积可加性,则必须分割.,情形3：,例1,例3,图形的面积.,3,3,l1,l2,例4,参数方程情形,如果曲边梯形的曲边表达为参数方程:,其中,具有连续导数,连续.,
2、则曲边梯形的面积可表达为,例5,a,圆上任一点所画出的曲线。,介绍：旋轮线（摆线）,一圆沿直线无滑动地滚动，,2a,2a,a,x = a (t sint) y = a (1 cost),t 的几何意义如图示,t,a,当 t 从 0 2，x从 0 2a,即曲线走了一拱,a,.,x+y+a = 0,曲线关于 y= x 对称,曲线有渐近线 x+y+a=0,.,狄卡儿叶形线,a, a,一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。,介绍： 星形线,a, a,一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。,来看动点的慢动作,.,星形线,a, a,0 2,或,.,P,.
3、,一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。,.,星形线,( ),d,o, +d,r =( ),元素法,1 取极角为积分变量， 其变化区间为,以圆扇形面积近似小 曲边扇形面积，得到 面积元素：,dS,S,3 作定积分,r,极坐标系情形,a,a,一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。,介绍： 心形线,a,一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。,.,心形线,a,a,a,2a,一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。,.,心形线,2a,r = a (1+cos ),0 2,0 r 2a,P,r,一圆沿另
4、一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。,.,心形线,P,r,.,距离之积为a2的点的轨迹,直角系方程,双纽线,0,r,r =a,曲线可以看作这种点的轨迹：,动点在射线上作等速运动,同时此射线又绕极点作等速转动,从极点射出半射线,阿基米德螺线,0,r,曲线可以看作这种点的轨迹：,动点在射线上作等速运动,同时此射线又绕极点作等速转动,从极点射出半射线,.,阿基米德螺线,r =a,0,r,曲线可以看作这种点的轨迹：,动点在射线上作等速运动,同时此射线又绕极点作等速转动,从极点射出半射线,请问：动点的轨迹什么样？,.,阿基米德螺线,r =a,r,这里 从 0 +,8,r =a,0,2
5、a,每两个螺形卷间沿射线的距离是定数,.,阿基米德螺线,0,r,8,当 从 0 ,r =a,.,阿基米德螺线,r,0,.,这里 从 0 +,8,.,.,双曲螺线,r,0,.,当 从 0 ,8,.,双曲螺线,例6,例7,2, =1+cos,3,r =3cos,S,例8,.,.,.,.,1,.,.,.,.,例9,求由双纽线,a,内部的面积。,例10,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,1 旋转体的体积,空间立体的体积,f(x),a,b,曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 x轴旋转,求旋转体体积,f(x),a,b,x,.,
6、.,曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 x 轴旋转,求旋转体体积,V =,x+dx,例1,连接坐标原点,直线,一个半径为,计算圆锥体的体积.,例2,计算则由椭圆,围成的平面图形,绕,轴旋转而成的旋转椭球体的体积.,例3,求星形线,所围的图形,绕,轴旋转而成的旋转体的体积.,例4,a,b,f (x),y,x,0,求旋转体体积 柱壳法,曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴,x,dx,x,a,b,y,x,0,内表面积,.,dx,.,曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴,dV=,2 x f (x)dx,f (x),求旋转体体积
7、柱壳法,b,y,x,0,a,.,曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴,dV=,2 x f (x)dx,f (x),b,y,x,0,a,.,曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴,dV=,2 x f (x)dx,f (x),0,y,0,x,b,x,a,dx,.,曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴,dV=,2 x f (x)dx,f (x),f (x),Y,x,0,b,dx,0,y,z,.,a,.,曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴,dV=,2 x f (x)dx,x=g(y),c,d
8、,曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕 y轴,求旋转体体积,x=g(y),c,d,曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕 y轴,.,求旋转体体积,x=g(y),c,d,y,.,.,.,.,曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕 y轴,例5,所围的图形,求曲线,旋转而成旋转体的体积.,例6,求由曲线,旋转而成旋转体的体积.,绕直线,A(x),dV=A(x)dx,x,已知平行截面面积为 A(x)的立体,.,a,V,平行截面面积为已知的立体的体积,b,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,R,o,x,y,
9、例7,o,y,R,x,R,R,.,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面 成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,例7,o,y,R,x,x,y,R,R,y tan,(x, y),.,例7,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面 成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,o,y,R,x,R,R,A,B,C,D,(x, y),S(y),.,例7,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面 成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,R,x,o,y,R,求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的 线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。,例8,R,x,o,x,A(x),.,.,.,.,R,y,.,y,例
10、8,求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的 线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。,x=g(y),c,d,x= g (y)绕 y 轴旋转,求旋转体侧面积A,x=g(y),c,d,x= g (y)绕 y 轴旋转,y,dA=2 g(y)ds,.,(ds是曲线的弧微分),.,.,故旋转体侧面积,求旋转体侧面积A,ds,1、平面曲线弧长的概念,平面曲线的弧长,定理 光滑曲线弧是可求长的。,简介 光滑曲线,当曲线上每一点处都具有切线，且切线随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为光滑曲线。,就是弧长元素,弧长,2 直角坐标情形,由第三章的弧微分公式知,例1,弧的长度.,例2,两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,垂成曲线形.,这样的曲线叫悬链线.,适当选取坐标系,后,悬链线的方程为,悬链线上,下,计算,参数方程情形,设曲线弧为,弧长,例3,例4,计算曲线（星形线）,的全长.,例5,求摆线,一支,的弧长.,例6,证明正弦线,的弧长等,于椭圆,的周长.,极坐标情形,设曲线弧方程为,弧长,例7,求极坐标系下,曲线,的长.,例8,求心形线,的全长.,