第一章概率论的基本概念(浙三).ppt

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1、概率论与数理统计,席 雷 2013.02,教材：概率论与数理统计（浙大 第三版） 课时：51学时（讲课+习题） 预备知识：高等数学、线性代数。,序 言,1. 概率论与数理统计是研究什么的？ 它是研究随机现象的统计规律性的数学学科。,2. 什么是随机现象？,客观现象分为三类： (1). 确定性现象：事前可预言的现象，即在准确地重复某些条件下，它的结果是肯定的。 如：银行利率，上课时间等,(2). 非确定性现象（随机现象）：事前不可预言的现象，即在相同条件下重复进行实验，每次结果未必相同；或知道事物过去的状况，但未来的发展却不能预见。 如：股票涨跌、等车时间、天气状况、足球比赛等。,(3). 模糊

2、现象：事物本身的含义不确定的现象。 如：“健康”与“不健康”、“年青”与“年老”、“网瘾”的界定等。,3. 本课程内容及其联系：,1-5章为概率论的内容。 6-8章是数理统计的内容。 第9章之后为多元分析的内容。,4. 常见应用,人口普查；（普查 抽样） 经济预测； （统计模型） 气象统计分析。（多元分析）,第一章 概率论的基本概念,第一节 随机事件 一、基本概念 1. 试验（广义）：观察与实验。 一次试验：对某种现象的一次观察、测量或进行一次科学实验。,2. 随机试验(E)：满足下列三个条件的试验： （1）试验在相同条件下可以重复进行； （2）试验结果可能不止一个，但能确定所有的可能结果；

3、（3）试验前不能肯定哪个结果会发生。,例1： E1：抛一枚硬币，分别用H和T表示出正面和反面； E2：掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E3：记录某网站一分钟受到的点击次数。 注：今后不特别注明，试验均指随机试验。,3. 样本空间: 随机试验E的所有可能结果组成的集合。常用符号S或 表示。 基本事件: 试验的每一个可能直接出现的结果。 （样本空间亦可表述为基本事件的全体组成的集合）,4. 随机事件：随机试验的结果，一般定义为试验E的样本空间的子集，简称为事件，常用英文大写字母A.B.C表示。,5. 基本事件与随机事件的关系： 基本事件是最简单的随机事件；随机事件由基本事件组成。,事件的两种特殊

4、情况： （1）必然事件：每次试验一定发生的事件。也用 或S表示。 （2）不可能事件：每次试验一定不发生的事件，用表示。,例2 写出下列事件的样本空间： E1：检验产品是否合格； E2：袋中有编号为1，2，3，n的球，从中任取一个球，观察球的号码； E3：将一枚硬币连抛三次，观察正反面出现的情况。,二. 事件的关系与运算 1. 子事件：事件B发生导致事件A发生，则称B是A的子事件，记为BA 或 AB 2. 相等事件：若BA 且 AB，则称A与B是相等事件，记为A=B,3. 事件的积（交）： A与B同时发生的事件，记为AB 或 AB 4. 事件的和（并）：A发生或B发生的事件，记为AB 5. 事件

5、的差：A发生但B不发生的事件， 记为A-B,6. 互不相容事件： 若AB= ，则称A与B是互不相容事件，也称A与B互斥。 7. 对立事件：若AB= 且AB= ，则称A是B的对立事件，B是A的对立事件。 记A的对立事件为,三. 事件的性质 1、交换律：ABBA，ABBA 2、结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC) 3、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：,四. 从集合论观点看事件 样本空间全集 事件子集 基本事件单元素集 事件的运算与集合的运算一致 （文氏图法 P5-6）,例3：一个工人生产了n个零件，以Ai表示他生产

6、的第i个零件是合格品(i=1,2,n)，试用Ai表示下列事件： （1）没有一个零件是不合格品； （2）至少有一个零件是不合格品； （3）恰有一个零件是不合格品； （4）至少有两个零件是合格品。,第二节 频率与概率,抛一枚硬币，考察币值面向上的概率是多少？（P8 表二） 用试验来发现规律，首先要定义频率的概念。,一. 频率的概念 1. 定义：设事件A在n次试验中发生了nA次，则 称为A在n次试验中发生的频率，记为,二. 频率的性质 1. 随机波动性 2. 稳定性 当试验次数n充分大时，频率常在一个确定的数p(0p1)附近波动，这个规律称为频率的稳定性。,三. 概率的定义 1. 描述性定义：A发生

7、的可能性大小的度量称为A发生的概率，记为P(A) 2. 统计定义：当n较大时， P(A)=f n(A),3. 概率的公理化定义： 设试验的样本空间为 ，事件的函数 满足下面三个条件： （1） 0P(A)1 （2） （3）对于两两互不相容事件，A1，A2， 则称 为概率函数，称P(A)为A发生的概率。,四. 概率的性质 1. 2. 若A1，A2， An两两互不相容，则 特例，若A，B互不相容，则P(AB)=P(A)+P(B),3. 设 是A的对立事件，则有若 4. 设AB，则有P(A) P(B)， P(B-A)= P(B)- P(A) 5. P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 推广 P(

8、AB C)= P(A)+P(B) +P(C)- P(AB)- P(AC)- P(BC)+P(ABC),例1：某市有甲、乙、丙三种报纸，订每种报纸的人数分别占全体市民总数的30%，其中有10%的人同时定甲、乙两种报纸，没有人同时订甲、丙或乙、丙报纸。求：从该市任选一人，他至少订有一种报纸的概率。,例2：在110这10个自然数中任取一数，求 （1）取到的数能被2或3整除的概率； （2）取到的数既不能被2也不能被3整除的概率； （3）取到的数能被2 整除而不能被3整除的概率。,第三节 古典概型,一、定义： 若某试验E满足 1. 有限性：样本空间只包含有限个元素，即 S=e1,e2,en； 2. 等可

9、能性：每个基本事件发生的可能性相同，即P(e1)= P(e2)= P(en) 则称E为古典概型，也叫等可能概型。,二. 古典概型中的概率计算 N(A): 事件A所含的基本事件数。 N(S): 样本空间S中的事件总数。 则 P(A)= N(A)/ N(S),例1：有三个子女的家庭，设每个孩子是男是女的概率相等，则至少有一个男孩的概率是多少？,解：设A表示至少有一个是男孩， m表示男孩，n表示女孩 则事件总数 N(S)=mmm,mmn,mnm,mnn,nmm,nnm,nmn,nnn 事件A所包含的基本事件数 N(A)=mmm,mmn,mnm,mnn,nmm,nnm,nmn 故P(A)= N(A)/

10、 N(S)=7/8,例2：袋中有a个红球，b个白球，依次从袋中摸球，每次摸一个，若采用不放回和有放回两种方式摸球，分别求第k次摸出红球的概率。 该例题可说明抽签原理：即抽签顺序与中签的概率无关。,例3：某批产品有a件正品和b件次品，从中用有放回和不放回抽样方式抽取n件产品，问恰有k件次品的概率是多少？,完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m1种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法,解排列组合问题的一般方法,1.分类计数原理(加法原理),完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2

11、种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法,2.分步计数原理（乘法原理）,分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件,3.分类计数原理分步计数原理区别,分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。,例：n个朋友随机地围绕圆桌就座，求其中两个人一定坐在一起（即座位相邻）的概率。,第四节 条件概率,问题：考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率一样，则两个孩子（依大到小）的性别（男，男）、 （男，女）、 （女，男）、 （女，女）的可能性一样，记A=“家庭中有一男一女孩”，B=“家庭中至少有一女孩”。 求：已知家庭中有一

12、女孩的条件下，另一个是男孩的概率。,分析：该问题等价于求已知B发生的条件下，A发生的概率。记为P(AB) 由于AB 故P(AB)= P(A)=1/2 P(B)=3/4 因总事件为3（除去两个男孩的情况），基本事件为2（一男一女）， 所以 P(AB)=2/3， 正好等于P(AB)/ P(B)的值。,一. 条件概率的定义 若P(B)0 ,称P(AB)= P(AB)/ P(B)为已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。 注：条件概率也具备概率的所有性质。,例1：m件产品中包含n件废品，今在其中任取两件，试求：在已知取出的两件中有一件是废品的条件下，计算另一件也是废品的条件概率。,方法一(定义)：

13、设A=“两件产品中至少有一件废品” B=“两件产品均是废品” BA， P(AB)= P(B)= P(A)= 故P(BA)= P(AB)/ P(A)=,方法二(缩减的样本空间)： *样本空间*含有的总事件数= 故P(BA)=,二. 推论（乘法定理） P(AB) = P(B)P(AB) =P(A) P(BA) 推广： P(ABC)=P(A) P(BA) P(CAB),例2：盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次，试求第1，2次取得白球，第3，4次取得红球的概率。,解：设第Ai为第i次取球时取到白球，则本题即求 的值。

14、 故,三. 全概率公式与贝叶斯公式 1. 划分的定义：设 为试验E的样本空间，A1,A2,An为E的一组事件，若它们满足下面两个条件： (1) (2) 则称A1,A2,An 为样本空间的一个划分。,例3：市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2%、1%、3%，试求市场上该品牌产品的次品率。,解：设B：买到一件次品 A1：买到一件甲厂的产品 A2：买到一件乙厂的产品 A3：买到一件丙厂的产品 故,2. 全概率公式：设 A1,A2,An 为样本空间S的一个划分。且P(Ai)0，则对任何事件BS，有,例4：有甲乙两

15、个袋子，甲袋中有两个白球，一个红球，乙袋中有两个红球，一个白球。这六个球的质感相同。 （1） 今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率。 （2）若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少。,解：（1）设B：从乙袋任取一球是红球 A1：从甲袋放入乙袋的是白球 A2：从甲袋放入乙袋的是红球 因P(A1)=2/3 P(A2)=1/3 所以A1 , A2是一划分 则,（2） 由上一问中假设，即求P(A1B)的值,3. 贝叶斯公式：设事件 A1,A2,An 为样本空间S的一个划分。且P(Ai)0，B为S内的任一事件， P(B)0 ，则有,例5：商店论箱出售玻

16、璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，（1）若选中的一箱中有一个次品，从中任选4只检查，结果都是好的，问这一概率是多少？（2）若任选一箱，检查了4只都是合格的，便买下了这一箱，问这一箱含有一个次品的概率是多少？,解： （1）设A：从一箱中任取4只检查,结果都是好的. B0 , B1 , B2：分别表示每箱含0，1，2个次品 已知 P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1， 则,（2） 由已知， 由贝叶斯公式,第五节 事件的独立性,一、两个事件独立性的定义： 若A、B满足P(AB) = P(A) P(B)，则称A

17、与B互相独立。 注：必然事件或不可能事件与任何事件独立。,定理1 A与B独立的充要条件是 P(AB) P(A)或 P(BA)=P(B),定理2 若A与B独立，则 与，A与 ， 与 也都相互独立。 注：实际问题根据实际意义判别独立性，互不影响的事件独立。,二、n个事件独立性的定义： n个事件中任意多积事件的概率等于各个事件概率的积，则称这n个事件互相独立。,如三个事件的情形： P(AB) = P(A) P(B) P(AC) = P(A) P(C) P(BC) = P(B) P(C) P(ABC) = P(A) P(B) P(C) 则称A，B，C互相独立。 注：互相独立能推出两两独立，反之未必成立

18、。,定理3 若A1,A2,An 互相独立，则A1,A2,An 中的任意多个事件换成它们的对立事件，则所得的n个事件仍然独立。,定理4 若A1,A2,An 互相独立。则,例1：在如图所示的开关电路中，开关a,b,c,d接通断开的概率都是0.5，设开关接通与否互不影响，求灯亮的概率。,解： 设事件A、B、C、D分别表示开关a、b、c、d接通 ，E表示灯亮， 则 E= AB CD 所以 P(E)=P(AB CD) =P(A)+ P(B)+ P(CD)- P(AB) - P(ACD) - P(BCD)+ P(ABCD) =0.5+0.5+0.25-0.25-0.125-0.125+0.0625 =0.8125,第一章 小结 六个概念：随机试验，事件，概率，条件概率，划分，独立性 四个公式：加法，乘法，全概率，贝叶斯公式 一个概型：古典概型,