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1、1,第 七 章,定积分的应用,2,1.,由,所围成的曲边梯形的面积为：,一、直角坐标系下平面图形的面积,2.,由上、下两曲线,及,所围成的图形面积为：,Y 向穿线,3,4,由左右两曲线,及,围成的平面图形的面积为：,3.,X 向穿线,解题的一般步骤：,1、试做穿线，以确定积分变量；,2、确定积分区间，即所取积分变量的取值范围；,3、写出积分，得结果。,5,6,取x为积分变量，积分区间为,解,解方程组,故所求面积为：,Y 向穿线,7,另解,取y为积分变量，,故所求面积为:,积分区间为,X 向穿线,8,解,得交点:,解方程组:,以y为积分变量，所求的面积为,9,注：本题若以x为积分变量，,所求的面
2、积为,10,例3 求曲线y=lnx, x=2及x 轴所围成的平面图形的面积。,解法1：,解法2：,11,如图所示,解,所求面积为,解 如图所示, 所求面积为,练习,12,Y 向穿线,问题: 当曲线以参数形式给出时，如何计算平面图形面积？,设曲线的参数方程为：,在Y 向穿线时，,面积表示式为：,X向穿线,在X 向穿线时，,然后把式子中的x、y 换成 t 的表,达式，,于t 的上、下限。,面积表示式为：,上、下限要相应换成对应,13,例4 求椭圆,所围成的图形的面积。,则椭圆的面积为:,解,设椭圆在第一象限部分的,面积为,特别地，,14,1. 旋转体的体积,二、体积,15,从而旋转体体积为,取x为
3、积分变量，,积分区间为,16,同理，,17,解,建立坐标系, 如图,的方程为：,于是所求圆锥体的体积为：,18,解,上半个椭圆的方程为：,例6 计算由椭圆,（叫做椭球体）的体积。,所围成的,图形绕 x 轴旋转而成的旋转体,当 a=b时，椭球体就成为球体,体积为：,19,星形线,例7 求星形线,旋转体的体积。,绕 x 轴旋转而成的,解,所求体积为：,20,练习,21,2. 平行截面面积为已知的立体的体积,则立体体积为：,x,22,因而截面积为,解,建立直角坐标系如图。,则底圆的方程为：,截面为一直角三角形，,于是所求立体体积为：,X,R,R,O,Y,x,23,三、平面曲线的弧长,于是所求弧长为,
4、设曲线弧由,给出，,阶连续导数。,其中f (x) 在a，b上具有一,取x为积分变量，,积分区间为,则所求弧长为,若曲线弧由参数方程,给出，,24,解,因此所求弧长为：,例9 计算曲线 上相应于 x 从 a 到 b的一段弧的长度。,25,解,26,取 x为积分变量，,它的变化区间为a, b，,四、变力沿直线段作功,恒力作功：,所做的功为：,于是变力,求它把物体由 a 移动到 b 所作,设有一变力F(x)随位移x而变，,的功。,27,任一点r 处的电场力为：,正电荷从 r =a沿r 轴移动到r =b 时，求电场力对它所作的功。,把一个带 +q 电量的点电荷放在r 轴上坐标原点 O 处，,有一个单位正电荷放在距离原点O 为r 的地方，当这个单位,例11,由物理学知：,解,所以电场力所作的功为：,