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1、第六节 定积分的几何应用,回顾,曲边梯形求面积的问题,一、微元法,面积表示为定积分的步骤如下,（3） 求和，得A的近似值,（4） 求极限，得A的精确值,提示,微元法的一般步骤：,这个方法通常叫做微元法,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,二、平面图形的面积,1.直角坐标情形,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,解,两曲线的交点,选 为积分变量,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,解,两曲线的交点,选 为积分变量,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,问题：,积分变量只能选 吗？,解,椭圆的
2、参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,面积元素,曲边扇形的面积,2.极坐标情形,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,解,利用对称性知,三、体积,1.旋转体体积,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,旋转体的体积为,y,解,直线 方程为,例8. 计算由椭圆,所围图形绕 x 轴旋转而,转而成的椭球体的体积.,解: 方法1 利用直角坐标方程,则,(利用对称性),方法2 利用椭圆参数方程,则,特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积,解,星形线是内摆线的一种.,大圆半径 Ra,小圆半径,参数的几何意义,(当小圆在
3、圆内沿圆周滚动,时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线),2.平行截面面积为已知的立体的体积,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,三、平面曲线的弧长*,1.平面曲线弧长的概念,弧长元素,弧长,2.直角坐标情形,解,所求弧长为,解,曲线弧为,弧长,3.参数方程情形,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,证,根据椭圆的对称性知,故原结论成立.,曲线弧为,弧长,4.极坐标情形,解,解,1.求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.,（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）,四、小结,2.旋转体的体积,3.平行截面面积为已知的立体的体积,绕 轴旋转一周,绕 轴旋转一周,绕非轴直线旋转一周,4.平面曲线弧长的概念,直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下,5.弧微分的概念,6.求弧长的公式,思考题一,思考题二,思考题三,思考题一解答,两边同时对 求导,积分得,所以所求曲线为,思考题二解答,交点,立体体积,思考题三解答,不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长,