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1、第三章 离散时间系统的 时域分析,要点： 离散时间信号的时域分析 离散时间系统的时域分析离散系统的数学模型与差分方程求解、单位序列响应 卷积和与去卷积（解卷积）,3.1. 离散时间信号的时域分析,1. 离散时间信号的时域描述 定义：在某些离散瞬时有确定函数值的信号 表示：序列，x(nT), x(n), n=0，1 ，2，。n 取整数 双边序列：-n， 偶对称序列: x(n)= x(-n); 奇对称序列: x(n)= -x(-n); 周期序列： x(n)= x(n+N);,单边序列： N1 nN2 右边序列：nN1, x(n)有值, nN2 ,x(n)=0 因果序列： N10的单边序列 反因果序
2、列： N2 0的单边序列 离散序列所描述的事物： 离散事件 模拟抽样,2. 序列的变换和运算, 序列的位移与翻转 x(nm)：表示序列左右位移 x(-n)：表示x(n)相对于纵轴翻转 x(-nm)：表示x(n)相对于纵轴翻转后位移 序列的相加与相乘：同序号的数值相加或相乘 序列的时间尺度变换 x(an)表示x(n)的时间尺度被缩放，注意变量应为整数,例 已知序列 x(n)如图示，求x(2n)和x(n/2)的波形,x (n),n,2,1,0,2,4,-2,-4,x (2n),0,n,2,-2,2,1,x (n/2),2,1,0,2,4,-2,-4,-6,-6, 序列的差分与累加：差分微分，累加积
3、分， 前向(左移)差分:x(n)=x(n+1)-x(n) 2 x(n)=x(n)=x(n+1)-x(n) =x(n+2)-2x(n+1)+x(n) 后向(右移)差分:x(n)=x(n)-x(n-1) 2x(n)=x(n)= x(n)- x(n-1) =x(n)-2x(n-1)+x(n-2),序列x(n)累加：,序列x(n)的能量：,-2,-3,3,2,1,-3,-2,3,2, 序列的分解, 分解为偶序列和奇序列 x(n)= xe(n)+ xo(n) 其中 xe(n)=(1/2)x(n)+x(-n) xo(n)=(1/2)x(n)-x(-n) 分解为实序列和虚序列 x(n)= xR(n)+ jx
4、I(n),分解为延迟的单位脉冲信号加权和,3. 常用典型序列及其特性, 单位脉冲序列：,(n),(n-m),m,取样特性 移位特性, 单位阶跃序列,u(n),n,1,0,2,4,截取特性：,累加特性：,典型序列的求和,与(n)的关系,指数序列,x(n)=anu(n): |a|1时，序列发散， |a|0, 序列取正值， a0, 序列在正、负摆动,anu(n),anu(n),anu(n),anu(n),a1,0a1,-1a0,a-1,4. 正弦序列,x(n)=sin(n0),包络是周期正弦， 序列本身未必周期,判断周期性：,sin(n0)= sin(0(n+N), 只有当 0N =2m时 或者N=
5、(2/0)m为整数 (即2/0为整数) 时， sin(n0)才是周期序列。选择m使N取最 小整数即为基波周期,5.离散时间系统的数学模型,离散时间 系 统,x(n),y(n),线性,时不 变性,例 设x(n)为激励, y(n)为响应, 判断下面的激励与响应是否为线性和时不变?,(1) y(n)=2x(n)+3 在y(n)中， yzi(n)=3, yzs(n)=2x(n)，只有零状态响应yzs(n)与输入有关。 当激励为ax1(n)+bx2(n)时，响应为 2ax1(n)+bx2(n)= ay1(n)+by2(n); 当激励为x(n-n0)时，响应为 2 x(n-n0) +3=y (n-n0)
6、. 故是线性时不变的。,连续与离散时间系统的比较,连续时间系统 微分方程描述； 微分(积分)、 乘系数、相加； R，L，C 元件连,离散时间系统 差分方程描述； 延时(移位)、 乘系数、相加； 部件,D,例1 已知离散时间系统如图示，写出 系统的差分方程。,常系数线性差分方程(递归关系式) 后向(或右移) 差分方程;前向(或左移) 差分方程,x(n),y(n),a,例2 已知离散时间系统如图示，写出 系统的差分方程。,一阶前向差分方程；可利用迭代方法求解,x(n),y(n),a,例3 已知梯形网络电阻为R，结点电压为v(n), n=0, 1, ，N，试写出第n个结点电压v(n)的差分方程。,v
7、(0),E,V(N-1),R,R,R,v(N),例4. 某人从当月起每月初存款f(n)元(n=0,1,2, ),月息0.5%,设第n+1月初总存x(n+1)元，写出总存与月存数关系的方程,第n月初之前的总存数 x(n)； 第n+1月初存入的款数 f(n+1)； 第n月的利息 r x(n)； 所以 x(n+1)=(1+r)x(n)+f(n+1) 或 x(n+1)-1.005x(n)=f(n+1),例5 每对兔子每月生一对，新生小兔隔一个月才有生育能力，若第一个月只有一对新生小兔，求第n个月兔子对数,已知y(0)=0,y(1)=1,y(2)=1,y(3)=2,y(4)=3 y(5)=5 在第n个月
8、，有 y(n-2)对有生育能力，因此这批变为2 y(n-2)对，无生育能力的有y(n-1)- y(n-2)，于是有 y(n)=2 y(n-2)+ y(n-1)- y(n-2)：或 y(n)= y(n-1)+ y(n-2) 此数列可写为0,1,1,2,3,5,8,13, ,6.差分方程的求解,1. 差分方程：常系数线性差分方程 式中：a, b常系数， M, N移位与方程阶次,2. 求解差分方程的方法, 迭代法：概念清楚，计算简便，但无 闭式解答； 时域经典法：先求齐次解和特解，再代入求系数，物理概念清楚，但烦琐； 零输入与零状态法：由求齐次解零输入响应，卷积和零状态响应； z 变换法：简便而有效
9、；,3. 举例,例1 已知 x(n)=(n),y(-1)=0, 用迭代法解方程： 解：y(0)=ay(-1)+1=1 y(1)=ay(0)+0=a y(2)=ay(1)+0=a2 y(n)=ay(n-1)+0=an y(n)=ay(n-1)+0=anu(n),例2 已知y(1)=1,y(2)=1,求解方程 y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0 解: 对于一般 齐次方程 其齐次解为 其中 特征方程的根； 待定系数,特征方程：,特征方程：,齐次解：,用边界条 件求系数,最终解,例3 求 y(n)+6y(n-1)+12y(n-2)+8y(n-3)=x(n) 的齐次解,解：(有重根)，设1为k重根
10、，则在齐次解中相应1的有k项，即 对本题，特征方程： 3+6 2+12 +8=0； 即 (+2)3=0, 于是齐次解为 (C1n2+C2n+C3)(-2)n,例4 已知 y(1)=1, y(2)=0, y(3)=1, y(5)=1,求解 y(n)-2y(n-1)+2y(n-2)-2y(n-3)+y(n-4)=0,解 (复共轭根)特征方程和特性根为 4-2 3+2 2-2 +1=0 1= 2=1, 3=j, 4=-j, 于是 y(n)=(C1n+C2)(1)n+C3(j)n+C4(-j)n =C1n+C2+C3ejn/2+ C4e-jn/2 = C1n+C2+Pcos(n/2)+Qsin(n/2
11、) 利用边界条件和P=C3+C4, Q=j(C3-C4), 得 C1=0,C2=1,P=1,Q=0; 解:y(n)=1+cos(n/2),差分方程特解的形式,激励 x(n) 特解 yp(n)的形式 A(常数) C(常数) An C1n+C2 nk C1 nk+ C2 nk-1+ Ck+1 nkan an(C1 nk+ C2 nk-1+ Ck+1 ) sin(bn)或 C1sin(bn)+C2cos(bn) con(bn) an sin(bn)或 anC1sin(bn)+C2cos(bn) cos(bn),例5 已知x(n)=n2, y(-1)=-1,求方程的完全解 y(n)+2y(n-1)=x
12、(n)-x(n-1),求得齐次解：C(-2)n; 由激励得自由项 n2-(n-1)2=2n-1, 根据函数形式,特解D1n+D2 代入方程：3D1n+3D2-2D1+D2=2n-1, 解得 D1=2/3, D2=1/9, y(n)=C(-2)n+(2/3)n+1/9 代入边界条件求C， 完全响应为： y(n)=(8/9)(-2)n+(2/3)n+1/9,例 6 已知方程 y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n), 若(1) y(-1)=0, (2)y(-1)=1,分别 求其完全响应,利用迭代法：y(0)=0.05 齐次解：C(0.9)n, 特解：D， 完全解: y(n)= C(0.9)n
13、+D 将D代入方程D=0.5,由y(0),y(n)C=-0.45 完全响应：,(2) 完全响应 y(n)=yzi(n)+yzs(n) 零状态响应yzs(n): 令y(-1)=0, 则 yzs(n)=0.5-0.45(0.9)n 零输入响应yzi(n) : y(n)-0.9y(n-1)=0 yzi(n)=Czi(0.9)n 将 y(-1)=1代入yzi(n)，求得 Czi=0.9 于是有 yzi(n) =0.9(0.9)n,最后得完全响应为,其中,例7 等额均还贷款的月还额公式为 R=PI(1+I)N/(1+I)N-1, P:总贷款额, I:月利率, R:月还额, N:付还月,(1) 设 第n个
14、月末欠款y(n),其差分方程为 y(n)=y(n-1)-R+Iy(n-1), n1 或 y(n)-(1+I)y(n-1)=-R, n1, 而y(0)=P (2) 齐次解:C(1+I)n,特解:D;并求得D=R/I (3) 由完全解y(n)=C(1+I)n+ R/I 求得C=P-R/I,(4) 完全解: y(n)=(P-R/I)(1+I)n+R/I, n0 利用y(N)=0, 可得 (P-R/I)(1+I)n+R/I=0 最后得月还额公式为 若P=10万,N=120月,I=5.13%, 则R=1067元,离散时间系统的单位样植响应,一、 定义,单位脉冲序列 作用于离散时间LTI系统所产生的零状态
15、响应称为单位脉冲响应, 用符号hn表示。,对N阶LTI离散时间系统， hn满足方程,求解方法:,2)等效初始条件法,将dn-j对系统的瞬时作用转化为系统的等效初始条件。,等效初始条件由差分方程和h-1=h-2= =h-n=0递推求出。,1) 迭代法,二、系统单位样值响应 的求解,3)利用阶跃响应求解,激励为 时，系统在零状态,求系统 的单位样值响应,1).迭代法：,例8：,解：,将激励 等效为起始条件，从而将问题转化为求解齐次方程。,例9：,求系统 的单位样值响应。,解：,2)等效初始条件法,当 时，差分方程为 所以 为差分方程的齐次解。 特征根为 将 ， 代入求得,只考虑 激励,例10：,求
16、系统,的单位样值响应 。,解：,只考虑 激励,利用LTI,1) 迭代法,单位阶跃响应,单位阶跃序列un作用在离散时间LTI系统上产生的零状态响应称为单位阶跃响应，用符号gn表示。,求解方法：,2) 经典法,3) 利用单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系,hn=gn-gn-1,3）利用阶跃响应求解,已知因果系统是一个二阶常系数差分方程，并已知当x(n)=u(n) 时的响应为： （1）求系统单位样值响应 （2）若系统为零状态，求此二阶差分方程,例11：,所以可设此二阶系统的差分方程的一般表达式为：,特征根：,由 g(n) 求h(n),特征方程：,解：,由,得,例12 方程：y(n)-3y(n-1)+3
17、y(n-2)-y(n-3)=x(n) 求系统的单位脉冲响应。,解 (1) 齐次解：特征方程 3-3 2+3 -1=0;特征根 1= 2= 3=1; 齐次解 C1n2+ C2n+ C3 (2)求系数：以 h(-2)=h(-1)=0, h(0)=1 求得C1=1/2; C2=3/2; C3=1; (3)系统的单位脉冲响应 : h(n)=(1/2)(n2+3n+2)u(n),3.3 卷积和,1. 卷积和：由离散序列分解可知 x(n)= x(m) (n-m) x(m) (n-m)=x(n), m=n 激励 响应 (n) h(n) (n-m) h(n-m) x(m) (n-m) x(m)h(n-m) x
18、(n)= x(m) (n-m) y(n)= x(m)h(n-m),2. 卷积和的性质,(1) 代数运算性质 如交换律：y(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n); (2)时移特性：若f(n)*h(n)=y(n),则 f(n)*h(nm)=y(nm) (3)差分与求和：若f(n)*h(n)=y(n), 则 f(n)*h(n)=f(n)* h(n)= y(n); f(n)*h(n)=f(n)* h(n)= y(n); f(n)* h(i)=( f(i)*h(n)= y(i),例1 已知单位脉冲响应 h(n)=anu(n),若激励为x(n)=u(n)-u(n-N),求响应y(n), 其中0a1
19、。,解：y(n)=x(m)h(n-m) = u(m)-u(m-N)an-mu(n-m),3. 卷积和的计算,计算方法：反褶 平移 相乘 求和 例 已知 x1(n)=2(n)+ (n-1)+4 (n-2)+ (n-3) x2(n)=3(n)+ (n-1)+5 (n-2),求x1(n)* x(n) 解： x1(n): 2 1 4 1 x2(-n): 5 1 3 结果 y(n): 6 5 23 12 21 5 y(n)=6 5 23 12 21 5,对位相乘求和法：,x1(n): 2 1 4 1 x2(n): 3 1 5 10 5 20 5 2 1 4 1 6 3 12 3 y(n): 6 5 23 12 21 5 y(n)=6 5 23 12 21 5,4. 去(解，反)卷积,计算卷积和:y(n)=h(n)*x(n)=x(m)h(n-m) 计算去卷积： 已知 h(n),y(n),求x(n):用n-1位前的全部x 已知 x(n),y(n),求h(n):用n-1位前的全部h 系统辨识,已知系统输入输出,求系统模型,