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1、13 古典概型与几何概型,一、 古典概型,二、 几何概型,说明,一、 古典概型,(1)随机试验只有有限个可能结果 (2)每一个可能结果发生的可能性相同,这两个条件在数学上可表述为 (1)样本空间有限 记1 2 n (2)每一个基本事件的概率相同 即 P1P2 Pn,古典概型,古典概型是指满足下面两个假设条件的概率模型,说明,一、 古典概型,(1)样本空间有限 记1 2 n (2)每一个基本事件的概率相同 即 P1P2 Pn,古典概型,根据概率的公理化定义知,古典概型是指满足下面两个假设条件的概率模型,一、 古典概型,(1)样本空间有限 记1 2 n (2)每一个基本事件的概率相同 即 P1P2
2、 Pn,古典概型,古典概型是指满足下面两个假设条件的概率模型,古典概型的概率计算公式,设是古典概型样本空间 则对任意事件A 有,例112 一个袋子中装有10个大小相同的球其中3个黑球 7个白球 求 (1)从袋子中任取一球 这个球是黑球的概率 (2)从袋子中任取两球 刚好一个白球一个黑球的概率以及两个球全是黑球的概率,解,(1),已知,从而事件A “取到的球为黑球”的概率为,例112 一个袋子中装有10个大小相同的球其中3个黑球 7个白球 求 (1)从袋子中任取一球 这个球是黑球的概率 (2)从袋子中任取两球 刚好一个白球一个黑球的概率以及两个球全是黑球的概率,解,(2),已知,记B为事件“刚好
3、取到一个白球一个黑球” C为事件“两个球均为黑球” 则,例113 将标号为1 2 3 4的四个球随意地排成一行 求下列各事件的概率 (1)各球自左至右或自右至左恰好排成1 2 3 4的顺序 (2)第1号球排在最右边或最左边 (3)第1号球与第2号球相邻 (4)第1号球排在第2号球的右边(不一定相邻),将4个球随意地排成一行有4!24种排法 即基本事件总数为24,解,记(1) (2) (3) (4)的事件分别为A B C D,(1) A有两种排法 故有,(2) B有2(3!)12种排法 故有,例113 将标号为1 2 3 4的四个球随意地排成一行 求下列各事件的概率 (1)各球自左至右或自右至左
4、恰好排成1 2 3 4的顺序 (2)第1号球排在最右边或最左边 (3)第1号球与第2号球相邻 (4)第1号球排在第2号球的右边(不一定相邻),将4个球随意地排成一行有4!24种排法 即基本事件总数为24,解,记(1) (2) (3) (4)的事件分别为A B C D,(3)先将第1 2号球排在任意相邻两个位置 共有23种排法 其余两个球可在其余两个位置任意排放 共有2!种排法 因而C有23212种排法 故,例113 将标号为1 2 3 4的四个球随意地排成一行 求下列各事件的概率 (1)各球自左至右或自右至左恰好排成1 2 3 4的顺序 (2)第1号球排在最右边或最左边 (3)第1号球与第2号
5、球相邻 (4)第1号球排在第2号球的右边(不一定相邻),将4个球随意地排成一行有4!24种排法 即基本事件总数为24,解,记(1) (2) (3) (4)的事件分别为A B C D,(4)第1号球排在第2号球的右边与第1号球排在第2号球的左边的排法种数相同 各占总排法数的一半 故有,例114 将n个球随意地放入N个箱子中(Nn) 其中每个球都等可能地放入任意一个箱子 求下列各事件的概率 (1)指定的n个箱子各放一球 (2)每个箱子最多放入一球 (3)某指定的箱子不空 (4)某指定的箱子恰好放入k(kn)个球,将n个球随意地放入N个箱子 共有Nn种放法 记(1) (2) (3) (4)的事件分别
6、为A B C D,解,(1)将n个球放进指定的n个箱子 每个箱子一个球 其放法有n!种 故有,例114 将n个球随意地放入N个箱子中(Nn) 其中每个球都等可能地放入任意一个箱子 求下列各事件的概率 (1)指定的n个箱子各放一球 (2)每个箱子最多放入一球 (3)某指定的箱子不空 (4)某指定的箱子恰好放入k(kn)个球,将n个球随意地放入N个箱子 共有Nn种放法 记(1) (2) (3) (4)的事件分别为A B C D,解,例114 将n个球随意地放入N个箱子中(Nn) 其中每个球都等可能地放入任意一个箱子 求下列各事件的概率 (1)指定的n个箱子各放一球 (2)每个箱子最多放入一球 (3
7、)某指定的箱子不空 (4)某指定的箱子恰好放入k(kn)个球,将n个球随意地放入N个箱子 共有Nn种放法 记(1) (2) (3) (4)的事件分别为A B C D,解,(3)由于C的对立事件C表示“指定的箱子是空的” 它等价于将n个球全部放到其余N1个箱子中 共有(N1)n种放法 从而,例114 将n个球随意地放入N个箱子中(Nn) 其中每个球都等可能地放入任意一个箱子 求下列各事件的概率 (1)指定的n个箱子各放一球 (2)每个箱子最多放入一球 (3)某指定的箱子不空 (4)某指定的箱子恰好放入k(kn)个球,将n个球随意地放入N个箱子 共有Nn种放法 记(1) (2) (3) (4)的事
8、件分别为A B C D,解,例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率 (1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球,(ab)次取球的总取法为(ab)! 记(1) (2) (3)中的事件分别为A B C,解,(1)第i次取到的黑球可以是a个黑球中的任意一个 选定其中一个以后 其他各次取球必在ab1个球中任意选取 共有(ab1)!种取法 从而A中包含的取法有a(ab1)!种 故,例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率 (1)第i
9、次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球,(ab)次取球的总取法为(ab)! 记(1) (2) (3)中的事件分别为A B C,解,例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率 (1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球,(ab)次取球的总取法为(ab)! 记(1) (2) (3)中的事件分别为A B C,解,说明,二、 几何概型,几何概型 在一个面积为S()的区域中等可能地任意投点,这里“等可能”的确切含义是 点落入中任意区域A的可能性大小与区域A的面积S(A)成正比 而
10、与其位置和形状无关,将“点落入区域A”这一事件仍记为A 则有 P(A)tS(A) 其中t为常数 于是由 P()tS()1,上式定义的概率通常称为平面区域上的几何概率,二、 几何概型,几何概型 在一个面积为S()的区域中等可能地任意投点,将“点落入区域A”这一事件仍记为A 则有 P(A)tS(A) 其中t为常数 于是由 P()tS()1,例116 某人午觉醒来 发觉表停了 他打开收音机 想听电台报时 设电台每正点时报时一次 求他(她)等待时间短于10 min的概率,以分钟为单位 记上一次报时时刻为0 则下一次报时时刻为60 于是这个人打开收音机的时间必在(0 60)内 记“等待时间短于10 min”为事件A 则有(0 60) A(50 60),解,于是,例117(会面问题) 甲、乙两人相约在7点到8点之间在某地会面 先到者等候另一人20 min 过时就离开 如果每个人可在指定的一小时内任意时刻到达 试求二人能够会面的概率,记7点为计算时刻的0时 以分钟为单位 x y分别记甲、乙到达指定地点的时刻 则样本空间为 (x y)|0x60 0y60 以A表示事件“两人能会面” 则显然有 A(x y)|(x y) |xy|20,解,依题意 这是一个几何概型问题 于是,