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1、1.4.3 正切函数的性质与图象,自 学 导 引(学生用书P26),由正切线得到正切曲线,并掌握正切曲线的性质.,课 前 热 身(学生用书P26),函数y=tanx的性质与图象见下表:,(-,+),最小正周期是,奇函数,增函数,名 师 讲 解 (学生用书P26),1.正切函数的性质 通过观察正切线正切曲线得到正切函数的各种性质,包括它的定义域值域周期性奇偶性和单调性. 对于正切函数的性质应注意以下几点:,正切函数y=tanx的定义域是x|xk+ ,kZ,这一点与已学过的正弦函数和余弦函数不同,在解题中往往注意不到.比如,求函数 的定义域,不仅要考虑到tanx1,还要考虑到tanx自身的限制,于
2、是有: 注意一定不能忽略后者.,正切函数y=tanx的最小正周期为,这一点也是与正弦函数余弦函数不同的.形如y=tanx的函数的最小正周期 这可以作为公式使用. 关于正切函数的单调性有下列命题: 命题一:正切函数y=tanx是增函数; 命题二:正切函数y=tanx在其定义域上是增函数; 命题三:正切函数y=tanx在每一个开区间( +k, +k) (kZ)内是增函数. 应指出,只有命题三是真命题.,2.正切曲线 (1)用几何法作正切曲线,也就是用单位圆中的正切线画出正切曲线.正切曲线是由沿y轴的上、下两个方向无限伸展,并被无穷多条与x轴垂直的直线x=k+ (kZ)隔开的无穷多支曲线所组成的.这
3、些直线x=k+ (kZ)为正切曲线的渐近线,在每两条这样的相邻直线之间,曲线是连续变化的,并且从左向右看是上升的.,(2)正切曲线草图的画法. 正切函数的图象在要求不高的情况下,可用“三点两线法”画出草图,“三点”是指(- ,-1),(0,0),( ,1);“两线”是指x=- ,x= .在三点两线确定的情况下,可大致画出正切函数在(- , )上的简图,然后向左右平移即可得正切曲线.,典 例 剖 析(学生用书P26),题型一 利用正切函数的单调性比较大小,例1:比较 的大小.,分析:利用诱导公式化为同一单调区间上的正切函数,利用正切函数的单调性比较大小.,规律技巧:当所给的两个角不在同一单调区间
4、时,要用诱导公式将它们化到同一单调区间,不是同名函数的要利用公式化成同名函数.,变式训练1:比较下列各组数的大小. (2)tan1,tan2,tan3.,题型二 求函数的单调区间 例2:写出下列函数的单调区间 (1)y=tan (2)y=|tanx|.,分析:(1)用换元法,(2)用图象解.,(2)y=|tanx|= tanx,xk,k+ )(kZ), -tanx,x(k- ,k(kZ). 可作出其图象(如下图),由图象知函数y=|tanx|的单调递减区间为(k- ,k(kZ),单调递增区间为k,k+2)(kZ).,规律技巧:因为本题是分段函数且周期为,所以可考查在(0, )及(- ,0)的单
5、调性,然后根据周期,写出x在定义域内的单调区间.,变式训练2:y=2tan(3x+ )的单调增区间是_.,题型三 正切函数性质的应用,例3:(2005全国)已知函数y=tanx在(- , )内是减函数,则( ) A.01 B.-10 C.1D.-1,解析:只是变换函数的周期并将函数的图象进行伸缩,若使函数在(- , )上递减,则必须小于0,而当|1时,图象将缩小周期,故-10.,答案:B,答案:D,易 错 探 究(学生用书P27),错因分析:错解主要是误认为正切函数图象的对称中心的坐标是(k,0)(其中kZ),但由正切函数的图象发现:点(k+ ,0)(其中kZ)也是正切曲线的对称中心,因此正切
6、函数图象的对称中心的坐标是( ,0)(其中kZ).,技 能 演 练(学生用书P28),基础强化,1.y=tanx(xk+ ,kZ)在定义域上的单调性为( ) A.在整个定义域上为增函数 B.在整个定义域上为减函数 C.在(- +k, +k)(kZ)上为增函数 D.在(- +k, +k)(kZ)上为减函数,答案:C,答案:A,3.若tanx0,则( ) A.2k- x2k,kZ B.2k+ x(2k+1),kZ C.k- xk,kZ D.k- xk,kZ,解析:tanx0,k- xk,kZ.,答案:C,4.y=cos(x- )+tan(+x)是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶
7、函数 D.非奇非偶函数,解析:y=cos(x- )+tan(+x)=sinx+tanx. y=sinx,y=tanx均为奇函数,原函数为奇函数.,答案:A,答案:C,6.设a=logtan70,b=logsin25,c=()cos25则有( ) A.abc B.bca C.cba D.acb,解析:tan70tan45=1,a=logtan70log=1,而c=()cos25(0,1),bca.,答案:D,答案:C,8.给出下列命题: 函数y=cosx在第三四象限都是增函数; 函数y=tan(x+)的最小正周期为 函数y=sin 是偶函数; 函数 的图象关于原点对称.其中正确命题的序号是_.,
8、解析:的说法是错误的.中最小正周期应为 所以也 错.中 是偶函数,所以正确.对 于易知 为奇函数,所以图象关于原点对称,故正确.,答案:,能力提升,9.已知点p(sin-cos,tan)在第一象限,则在0,2)内的取值范围是( ),答案:B,10.求函数 的单调区间.,分析:由于x的系数小于零,故应将其进行变形,化为系数为正,再根据正切函数单调性求解.,品 味 高 考(学生用书P28),11.(2008江西)函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间 内的图象大致是( ),解析:当x( ,)时,tanx0, y=tanx+sinx+tanx-sinx=2tanx0. 当x(, )时, y=tanx+sinx-tanx+sinx=2sinx0. 综合图象知.应选D.,答案:D,答案:C,