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1、1.5 空间直线及其方程,定义,空间直线可看成两平面的交线,空间直线的一般方程,1.5.1 空间直线的一般方程,方向向量的定义：,如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量,1.5.2 空间直线的对称式方程与参数方程,直线的对称式 （点向式）方程,令,方向向量的余弦称为直线的方向余弦.,直线的参数方程,例1 用对称式方程及参数方程表示直线,解,在直线上任取一点,取,解得,点坐标,空间直线的三种方程形式的互化,因所求直线与两平面的法向量都垂直,取,对称式方程,参数方程,解,所以交点为,所求直线方程,定义,直线,直线,两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）,两直线的夹角公式,1
2、.5.3 两直线的夹角,两直线的位置关系：,/,直线,直线,例如，,解,设所求直线的方向向量为,根据题意知,取,所求直线的方程,解,设两直线的交点N,令,交点,取所求直线的方向向量为,所求直线方程为,定义,直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角,1.5.4、直线与平面的夹角,直线与平面的夹角公式,直线与平面的位置关系：,/,解,为所求夹角,1.5.5 杂例,例1 求点P(-1,2,0)在平面x+2y-z+1=0上的投影。,解：,P(-1,2,0),Q,如图所示,只要过点P(-1,2,0)作平面的垂线，则垂足Q即为所求的投影,分析,令,得直线的参数方程为,将上式代入平面方程，得
3、t= -2/3,从而投影Q的坐标为(-5/3, 2/3, 2/3),例2,分析：,P(3,-1,2),M,先求出过点P且垂直于直线L的平面，再求出垂足M，最后求出P,M两点间的距离即可。,解,直线L的方向向量v=(0,-3,-3),则垂直直线L，经过P的平面方程为y+z-1=0,联立方程组,解得,即M=(1,-1/2,3/2),从而,平面束,设直线L由方程组,(1),(2),所确定，其中，系数A1,B1,C1与A2,B2,C2不成比例，我们 建立三元一次方程:,(3),其中为任意常数，因为A1,B1,C1与A2,B2,C2不成比例，所以 对于任何一个值，方程(3)的系数：A1+ A2,B1+
4、B2,C1+ C2,不全为零，从而方程(3)表示一个平面。,而且对应于不同的值，方程(3) 表示通过直线 L的不同的平面。,反之，通过直线L的任何平面(除平面(2) 外)都包含在方程(3)所表示的一族平面内。,像这种通过定直线的所有平面的全体称为平面束。,而方程(3) 就作为通过直线L的平面束的方程.,若一点在直线L上，则点的坐标必同时满足方程(1)和方程(2),因而也满足方程(3),故方程(3)表示通过直线L的平面。,例3,解,将点(3,1,-2)代入得,从而得到所求平面方程为 8x-9y-22z-59=0,小结： 空间直线的一般方程.,空间直线的对称式方程与参数方程.,两直线的夹角.,直线与平面的夹角.,（注意直线与平面的位置关系）,思考题,思考题解答,且有,故当 时结论成立,