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1、1,几何向量,第三章,哈工大数学系代数与几何教研室,王 宝 玲,2,本章内容提要, 几何向量的线性运算, 空间中的平面与直线,数量积、向量积、混合积 几何向量的坐标，用坐标表示 几何向量的运算.,3, 向量代数历史,数学历史,数学萌芽 (公元前600年以前) 初等数学 (公元前600年到17世纪中叶 ) 变量数学(17世纪中叶到19世纪20年代),数学发展的第三个时期,是变量数学时 期.它以笛卡尔解析几何的建立为起点.,4,笛卡尔(Descartes, 1596年3月31日生于法国) 解析几何是利用代数方法来研究几何图形性 质的一门学科. 平面解析几何 空间解析几何 主要是笛卡尔和费尔马(Fe
2、rmat)共同创立. 通过在空间中建立坐标系,将点用坐标表出, 然后图形的几何性质可以用坐标之间的关系, 特别是代数关系来表示. 解析几何为微积分的出现创造了条件.,5,“向量代数”的应用:,作为研究（空间）解析几何的工具； 研究数学中其它一些分支、力学及其 它学科的工具；, 向量代数引言,3.1 向量及其线性运算,3.1 向量及其线性运算,6,定义,有大小又有方向的量称为(几何)向量， 记为： , , , .,模: (长度、大小),几何表示:用有向线段,代数表示: 用坐标 (x,y,z),a = b 把起点平移在一起,则完全重合.,方向相同,大小相等.,3.1.1 向量的基本概念,自由向量:
3、与起点无关的向量.,7,几种特殊的向量,单位向量:,负向量: a 的负向量与a 大小相等方向相 反,记为 -a .,零向量: ,记为0. 零向量的方向任意或不确定.,两向量共线:,同向或反向的向量.,两向量共面:平行与同一平面的向量.,任意两向量都共面.,8,一、 向量的加法,分析一下物理中的两种有方向的量: 力的合成,可以引入向量加法的概念.,加法：,b,a,a+b,a,b,a+b,2.三角形法则,1.平行四边形法则,首尾相连,a起点 指向b终点,c = a+b,3.1.2 向量的线性运算,9,3.多边形法则：n个向量之和,只要把它们 相继地首尾连接后，从第一个向量的起点 到最后一个向量的终
4、点的向量,即为和向量. 如,10,4.向量加法运算的性质,(1) 交换律: a + b = b+ a (2) 结合律: (a + b) + c = a +(b+ c) (3) 零向量: a +0 = 0 + a = a (4) 反向量: a +(- a) = (- a)+ a = 0 5.向量的减法: a - b = a +(-b),两起点置一处, b终点指向a终点,a - b,11,(1) 1a = a, (-1)a = -a (2) k(la)=(kl) a (3) (k+l)a= ka+la (4) k(a+b)=ka + kb,2. 数乘运算的性质:,1. 数乘:,二.向量的数乘,12
5、,3.单位向量:,a0 ,a0 =,为与a同向 的单位向量.,4.平行:（共线）,注 （1）,（2） a b无意义.,（3）,13,如果k 0 a = (-l/k)b a, b共线; 如果l 0 b = (-k/l)a a, b共线.,5.两个向量a,b共线存在不全为零的数 （平行）k,l 使ka + l b = 0.,a = kb或b = ka,存在 k 使得,ka + l b = 0.,14,6.三个向量a1,a2, a3共面是存在不全为零 的数k1, k2, k3使,证明思路 必要性: 分两种情况 其中有平行向量 其中两两不平行,a2,a3,a1,充分性: 不仿设k1不为零, 则有 a1
6、= (-k2/k1)a2 +(-k3/k1)a3,15,例1,解 因为平行四边形的对角线互相平分,所以,16,3.2 向量的数量积,向量积和混合积,前面讨论的向量及运算只是在几何作图，而这节的目的是用投影法得到向量的坐标，即将向量与数对应起来，把向量的代数运算转化为数量（坐标）的代数运算，实际上是对向量及运算进行定量的描述.,3.2.1 向量在轴上的投影,17,注：零向量与任一向量的夹角可以在0 到 间任意 取值. 向量与轴及轴与轴的夹角都是正向 间不超过 的夹角.,2.点在u轴上的投影：若A为空间中一点, u 为一轴，过 A点作垂直于 u 轴的平面 ，则 与轴 的交点 为A在 轴 上的投影.
7、,1.向量的夹角：,18,投影轴,u1,u2,3.向量在u轴上投影:,19,u,投影轴,u1,u2,4.公式:,20,向量的线性运算可以用来解决一些几 何问题. 要利用向量解决更复杂的几何问题, 需要引入向量的其它运算, 这其中最 重要的就是数量积和向量积. 向量的加法是从物理中力的合力抽象 出来的.向量的数量积也可以从物理中 力作功的计算公式抽象出来.,3.2.2 几何向量的数量积（数）,21,物理背景：一物体在常力 的作用下，沿直线运动产生的位移为 时，则力 所做的功是:,抽去物理意义，就是两个向量确定一 个数的运算.,22,一个向量的模乘以另一个向量在这个向量 上的投影.,数量积又称为点
8、积、内积.,a,b,1.定义（数量积):,23,（1）交换律：,（2）分配律：,（3）结合律：,注 （1） , 中未必有0向量, 也可. （2） 无意义. （3）数量积不满足消去律即,2.性质:,（4）,a (b-c).,3.几何应用：,（1）求模长：,（2）求夹角：,（4）求投影：,a b ab=0,25,设(a +3b)(7a-5b),且(a -4b)(7a-2b)求.,解,例1,26,用向量证明余弦定理.,例2,证,即,中,27,3.2.3 几何向量的向量积,1.定义: a, b 的向量积 ab 是一个向量,向量积也称为 叉积或外积.,2.几何意义：,都非零且不共线,则,以 为邻边的平行四边形的面积.,a,b,ab,模:,且a, b, ab成右手系,方向：,b a,28,（1）,（2）,（3）反交换律：,（4）结合律:,（5）分配律:,规定,3. 性质:,29,(1)求平行四边形面积：,(2)求夹角：,h=|b|sina，b=,(3)求平行四边形的高：,(4)可判断向量平行:,4.几何应用：,30,证明,证 由数量积定义,由向量积定义知,两式相加有,例3,试证,例4,证,31,(-), Bye!,预 习 完 3.2-3.3.2,