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1、16-4 一维谐振子问题,一、一维谐振子的定态薛定谔方程,在经典力学中，简谐振动的定义：,任何物理量 x 的变化规律若满足方程式,并且是决定于系统自身的常量，则该物理量的变化过程就是简谐振动。,在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本的问题，它是物体在稳定平衡位置附近作小振动这类常见问题的普遍概括。,简谐振动物体受到的线性回复力,取系统的平衡位置作为系统势能的零点，简谐振动系统的势能,简谐振动系统的总能量,简谐振动运动方程的解,一维谐振子在量子力学中是一个重要的物理模型。例如研究分子的振动、晶格的振动、原子核表面的振动以及辐射场的振动，等等。,在微观领域中，一维量子谐振子问题也是个基本的问题，
2、甚至更为基本。因为它不仅是微观粒子在稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的普遍概括，而且更是将来场量子化的基础。,我们认为，微观粒子所处的势场的形式仍然可以表达为,粒子受到的势不随时间变化，这是一个定态问题！,一维谐振子的定态薛定谔方程,一维谐振子的能量本征值方程,为了简洁起见，引入三个无量纲参量：,求解此方程，并考虑到束缚态条件，就可以得到一维谐振子的能量本征值和与其对应的本征波函数。,二、一维谐振子的本征函数和能量本征值,一维谐振子的定态薛定谔方程的解，即一维谐振子的定态波函数为：,由波函数的归一化条件所确定的常系数 Nn为：,式中 Hn( )称为厄米多项式，具体形式为,最简单的几个厄米多
3、项式为：,n=0, n=1, n=2,一维谐振子的波函数的一般形式为,一维谐振子的能量（本征值）为, 一维谐振子的能量只能取一系列分立值；, 一维谐振子的能谱是等间距的，即相邻两能级的能量差是固定的；,能量的分立现象在微观领域是普遍存在的！,能级间距 =, 一维谐振子的基态能量不等于零，即存在零点能。,零点能是微观粒子波粒二象性的表现！,经典物理学中的一维谐振子：,量子力学中的一维谐振子：,考虑一维谐振子的基态：,=,谐振子的特征长度,按照经典理论，,按照量子力学中波函数的统计诠释，基态粒子处于经典禁区中的概率为：,微观粒子的隧道效应,由图可以看出，量子数n较小时，粒子位置的概率密度分布与经典
4、结论明显不同。随着量子数n的增大, 概率密度的平均分布将越来越接近于经典结论。,例1:一个电子被束缚在一维无限深势阱内，势阱宽度为1.0110-10 m。求当电子处于基态时对阱壁的平均冲力。,设电子质量为me、速度为vx、动量为px 、势阱宽度为a。,解: 要求平均冲力，先要求平均冲力算符。,动量定理：在运动过程中，作用于质点的合力在一段时间内的冲量等于质点动量的增量。,平均冲力等于单位时间内的冲量。,电子与阱壁碰撞一次，电子所受到的冲量：,电子与阱壁碰撞一次，阱壁所受到的冲量：,电子连续两次碰撞同一侧阱壁所需要的时间：,单位时间内电子碰撞同一侧阱壁的次数：,单位时间内电子对同一侧阱壁的冲量，
5、即冲力为,一维无限深势阱的基态波函数为,电子对阱壁的平均冲力为,解: 要求概率，只要确定概率密度和相应的体积。,r到r+dr的球壳的体积：,球坐标系下的体积元的表达式：,在r到r+dr的球壳内找到粒子的概率：,例3:求处于一维无限深方势阱中的粒子的位置、动量和动能的平均值。,解: 要求力学量的平均值，只要找到相应的力学量算符和波函数就可以了。,粒子的位置的平均值：,粒子的动量的平均值：,在一维无限深方势阱中，粒子位置与动量的平均值与粒子所处的本征态的级数，即 n 没有关系。,粒子的动能的平均值：,在势阱内部，势能为零，则粒子的动能也就是其总能量。在定态问题中，总能量算符也就是哈密顿算符。,平均
6、动能，即平均能量，是量子化的。,例4:求一维线性谐振子在第一激发态时概率最大的位置。,解: 要求粒子在空间的概率的最大值，只要对概率密度求极大即可。,量子力学中的一维谐振子：,概率密度：,零是个极小值，舍去；故极大值处为,这是一个变系数的二阶常微分方程，当 很大时， ，上式中的 可略去。从而，得到上式的渐进方程,其解 就是原方程的解，又由于波函数在 时的有限性条件，得,在 有限时应该有限，在 时它的行为也必须保证波函数有限。,为了求出在整个空间都合适的解，可以将系数 视为 的某一特定函数 ，假设方程的解为,代回薛定谔方程，得到待定系数 满足的方程,其中：,对 作泰勒展开,可由,得,若 为无穷级
7、数时， 在 时将趋向无穷大。为了在 时，波函数仍有限， 必须断为多项式。因为如果 是多项式，当,时，它趋于无穷的行为永远比 趋于 零慢，从而保证了 在 是有限。,此时，有,这是厄米方程，其解为厄米多项式。,由（2.7.2）可知方程(2.7.1)有解的条件为,1.级数表示：,式中,厄米多项式有三种重要表示：,3.微分表示：,2.积分表示：,厄米多项式具有如下性质：,1.递推关系：,2.微分性质：,3.正交归一性：,4.完备性：,式中的展开系数为：,由式（2.7.1）即可得能量本征值 为：,叫振动量子数。,相应的 为,从而其波函数为：,式中归一化常数 为：,由（2.7.2）可见，一维谐振子的能量也是量子化的，并且能量间隔相等，为 。,一维谐振子基态能量： 叫零点能。,