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1、18-8 势阱中的粒子 势垒 谐振子,1.一维无限深势阱,若质量为m的粒子，在保守力场的作用下，被限制在一定的范围内运动，其势函数称为势阱。,为了简化计算，提出理想模型无限深势阱。,一维无限深势阱：,保守力与势能之间的关系：,在势阱边界处，粒子要受到无限大、指向阱内的力，表明粒子不能越出势阱,即粒子在势阱外的概率为0。,势阱内的一维定态薛定谔方程为：,解为：,一维无限深势阱,由边界条件得：,据归一化条件，得,得波函数表达式：,一维无限深势阱,(1)粒子能量不能取连续值,得,能量取分立值（能级），能量量子化是粒子处于束缚态的所具有的性质。,由,讨 论：,一维无限深势阱,（2）粒子的最小能量不等于
2、零,最小能量,也称为基态能或零点能。,零点能的存在与不确定度关系协调一致。,一维无限深势阱,(3)粒子在势阱内出现概率密度分布,不受外力的粒子在0到 a 范围内 出现概率处处相等。,量子论观点：,经典观点：,一维无限深势阱,（4）有限深势阱，粒子出现的概率分布,如果势阱不是无限深，粒子的能量又低于势璧，粒子在阱外不远处出现的概率不为零。,经典理论无法解释，实验得到证实。,一维无限深势阱,得到两相邻能级的能量差,例题 18-15 设想一电子在无限深势阱，如果势阱宽度分别 为1.010-2m和10-10m 。试讨论这两中情况下 相邻能级的能量差。,解： 根据势阱中的能量公式,当a=1cm时,可见两
3、相邻能级间的距离随着量子数的增加而增加，而且与粒子的质量m和势阱的宽度a有关。,一维无限深势阱,在这种情况下，相邻能级间的距离是非常小的，我们可以把电子的能级看作是连续的。,当a=10-10m时,在这种情况下，相邻能级间的距离是非常大的，这时电子能量的量子化就明显的表现出来。,一维无限深势阱,可见能级的相对间隔 随着n的增加成反比地减小。当 时 ， 较之 要小的多。这时，能量的量子化效应就不显著了，可认为能量是连续的，经典图样和量子图样趋与一致。所以，经典物理可以看作是量子物理中量子数 时的极限情况。,当n1 时 ,能级的相对间隔近似为,一维无限深势阱,例题18-16 试求在一维无限深势阱中粒
4、子概率密度的最大 值的位置。,解： 一维无限深势阱中粒子的概率密度为,将上式对x求导一次，并令它等于零,因为在阱内，即,只有,一维无限深势阱,于是,由此解得最大值得位置为,例如,最大值位置,最大值位置,最大值位置,可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。,一维无限深势阱,这时最大值连成一片，峰状结构消失，概率分布成为均匀，与经典理论的结论趋于一致。,相邻两个最大值之间的距离,如果阱宽a不变，当,时,一维无限深势阱,2.一维势垒 隧道效应,一维方势阱如图,粒子沿 方向运动,当 粒子可以通过势垒。,当 ，实验证明粒子也能通过势垒,这只有由量子力学的到解释。,设三个区域的波函数分别为,在各区域薛定
5、谔方程分别为,一维势垒,解为：,一维势垒,三个区域中波函数的情况如图所示：,隧道效应,在粒子总能量低于势垒壁高的情况下,粒子有一定的概率穿透势垒. 此现象称为隧道效应。,贯穿势垒的概率定义为在 处透射波的强度与入射波的强度之比：,贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。,一维势垒,扫描隧道显微镜(STM),原理： 利用电子的隧道效应。,金属样品外表面有一层电子云，电子云的密度随着与表面距离的增大呈指数形式衰减，将原子线度的极细的金属探针靠近样品，并在它们之间加上微小的电压，其间就存在隧道电流，隧道电流对针尖与表面的距离及其敏感，如果控制隧道电流保持恒定，针尖的在垂直于样品方向的变化，就反映出样品表面情况。,48个Fe原子形成 “量子围栏”， 围栏中的电子形成驻波。,STM的横向分辨率已达 ，纵向分辨达 , STM的出现，使人类第一次能够适时地观察单个原子 在物质表面上的排列状态以及表面电子行为有关性质。,扫描隧道显微镜,3.谐振子,谐振子的势能为,薛定谔方程为,其能量本征值为,基态能(零点能),能级间隔,一维谐振子的能级,谐振子,一维谐振子的能级,谐振子,