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1、概率论与数理统计,第二节 多维随机变量 及其分布(2),五、 边缘分布函数,六、离散型随机变量 的边缘分布律,七、连续型随机变量 的边缘分布,五、边缘分布函数,如果(X,Y)是一个二维随机变量,则它的分量,定义,X(或者Y)是一维随机变量,因此分量X(或者Y)也,有分布.我们称X(或者Y)的分布为X(或者Y)关于,二维随机变量(X,Y)的边缘分布.,下面给出边缘分布的精确定义,边缘分布也称为边沿分布或边际分布.,六、离散型随机变量的边缘分布律,定义,因此得离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函,数分别为,例1,已知下列分布律求其边缘分布律.,注,联合分布,边缘分布,解,一口袋中有四个球,他们
2、依次标有数字1,2,2,3,例2,解 X的所有可能取值为1,2,3;,Y的所有可能取值为1,2,3.所以有,求 (1) (X,Y)的联合分布律;,(2) 关于X和关于Y的边缘分布律.,从这袋中任取一球后,不放回袋中,再从袋中任取一,球,设每次取球时每个球被提取的可能性相同,以X,Y,分别记第一次,第二次取得球上标有的数字.,同理可得Y的边缘分布律,七、连续型随机变量的边缘分布,定义,例3,求关于X 和Y 的边缘概率密度函数.,解 根据定义有,注 由联合分布能推出边缘分布,但由边缘分布推不出联合分布.,例4,解,由于,于是,则有,即,同理可得,通过本题,我们可以得到如下结论,1,2,注,3,内容
3、小结,1. 边缘分布函数,2. 离散型随机变量边缘分布,(2) 二维离散型随机变量(X,Y)关于Y 的边缘分 布律,(1) 二维离散型随机变量(X,Y)关于X 的边缘分,布律,(4) 二维离散型随机变量(X,Y)关于Y 的边缘分 布函数,(3) 二维离散型随机变量(X,Y)关于X 的边缘分 布函数,3. 连续型随机变量边缘分布,(2) 二维连续型随机变量(X,Y)关于Y 的边缘密 度函数,(1) 二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘密 度函数,(3) 二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘分 布函数,(4) 二维连续型随机变量(X,Y)关于Y 的边缘分 布函数,思考题,请同学们思考：
4、,边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分 布一定是二维正态分布吗?,不一定.,举一反例以示证明.,答：,因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合,分布不一定是二维正态分布.,再见,备用题 例3-1,如果二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为,试求X和Y各自的边缘分布函数.,解 因为,所以X和Y各自的边缘分布函数为,可见，这两个边缘分布都是指数分布，但这两个分,布对应的随机变量不相互独立.,例3-2,解,即为所求的联合分布函数.,即为所求的边缘分布函数.,例3-3,解,里服从均匀分布.求联合分布密度和边缘分布密度.,由题设知(X,Y)的联合分布密度为,例3-4,设二维随机变量(X,Y)具如下联合概率密度,求边缘分布.,解,例3-5,内服从均匀分布，求 X, Y 的边缘概率密度.,所以(X,Y)的联合概率密度为,同理可求得,解,例4-1,