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1、1,第二节 向量间的线性关系,一、n维向量 二、向量的线性关系 三、线性相关性 四、特殊向量组的几何意义,2,一、n维向量,数域F上的n个数,定义2.2.1,组成的有序数组,称为数域F上的一个n维向量,其中,称为向量的第i个分量(i=1,2,n), =a1,a2 , an,或,=a1,a2 , anT,行向量,列向量,本节中，n维向量均指n维列向量,3,数域F上的全体n维列向量构成的集合记作 Fn,分量都是0的n维向量称为零向量，记作0,向量,称为n维向量,的负向量, 记作,分量全是实数(复数)的n维向量称为实(复)向量,向量可以看作是特殊的矩阵,4,例1,矩阵,有3个行向量,有4个列向量,5
2、,若干个维数相同的列向量(或维数相同的行向量) 所构成的集合叫做向量组,由一个向量组的部分向量构成的向量组称为该 向量组的部分组,二、向量的线性运算,6,设有两个n 维向量,和一个实数 kR,则定义, =a1,a2 , anT, =b1,b2 , bnT,(1) = ai =bi , i=1,2,n,(2) + = a1 + b1 , a2 + b2 , an + bn T,(3) k =ka1,ka2 , kanT,(4) - = (-1) = - a1,- a2 ,- anT,(5) - = +(-1) ,7,对任何的n维向量 , , 及任意实数k, l, 向量 的加法及数乘运算统称为向量
3、的线性运算.满足 下列的八条性质,(1) + = + ,(2) ( + ) + = +( + ),(3) + 0 = ,(4) +(- ) = 0,(5) 1 = ,(6) k(l ) = (kl ),(7) k( + ) = k +k,(8) (k + l ) = k + l,8,例2,设,若3维向量,满足,试求向量,解 由,9,三、线性相关性,设,定义2.2.4,则对任意常数,F, 向量,称为这s个向量的一个线性组合,设,若存在常数,使得,则称向量,可以表为,的线性组合, 或称,可由向量组,线性表出(或线性表示),10,n维零向量0是任一n维向量组,例3,的线性组合,例4,设,n维单位坐标
4、向量组为,则,可由,线性表出,11,线性方程组AX= 的系数矩阵A=(aij)mn的第j列和常数项 可以用m维列向量表示,例5,AX= 的向量形式为:,向量组A: 1,2,s中的任一向量都可以由 这个向量组线性表示,非齐次线性方程组的向量形式,12,n元线性方程组AX= 有解的充分必要条件 是向量可由其系数矩阵A的列向量组 线性表出,定理2.2.1,向量可由向量组 线性表出 的充分必要条件是,推论2.2.1,其中,13,设 = 1,1,1T, = 1,3,0T, = 2,4,1T,例6,试将向量 用向量 与 线性表出,解,设 = k1 + k2,按向量相等的概念,即有,解得 k1 = -1,
5、k2 = 1,即 = - + ,14,向量组的线性相关与线性无关的概念,对于向量组 1,2,s如果存在,不全为零的数 k1,k2,ks ,使得,则称这个向量组线性相关 否则称这个向量组线性无关,k11 + k22 + + kss = 0,定义2.2.5,15,AX= 0的系数矩阵A=(aij)mn的第j列为,AX= 0的向量形式为:,齐次线性方程组的向量形式,16,定理2.2.2,设,令,则向量组,线性相关的充分必要条件是s元齐次线性方程组,有非零解.,推论2.2.2,设,则向量组,线性相关的充分必要条件是,17,推论2.2.3,令,则n维向量组,线性相关的充分必要条件是n元齐次线性方程组,的
6、系数行列式等于零,例7 任意s(n)个n维向量必线性相关,任意n+1个n维向量必线性相关,设,令,则,有非零解,向量组,必线性相关,18,定理2.2.3,令,则n维向量组,线性无关的充分必要条件是s元齐次线性方程组,仅有零解. 即向量组,线性无关的充分必要条件是,19,例8,是三个向量, 由于2 = 21 , 因而有,系数 2,-1,0 不全为零 由上述定义可知1, 2, 3线性相关,21 + ( - 1)2 + 03 = 0,20,例9 含有零向量的任一向量组线性相关,例10 n维单位坐标向量组线性无关,设向量组为 0, 1,2,s 对任意的数 k 0，有,k0 + 01 + 02 +0n
7、= 0,1 = 1,0,0T, 2 = 0,1,0T, ,n = 0,0,1T k11 + k22 + + knn = 0 k1 = k2 = = kn = 0,21,如果n维向量组,例11,线性无关, 试判断向量组,的线性相关性,解 设存在数,使得,即,线性无关, 故,22,齐次线性方程组的系数行列式为,当s为奇数时,|A|=2,方程组仅有零解.所求向量组线性无关,当s为偶数时,|A|=0,方程组有非零解.所求向量组线性相关,23,若n维向量组,例12,线性无关，那么在每一个向量的第n个分量后都,添加一个分量所得到的n+1维向量组,亦线性无关(即“无关组的延长组亦无关”),24,定理2.2.
8、4,证 ,向量组1,2, ,s(s2)线性相关的充要条件是该向量组中至少有一个向量可由其余s-1个向量的线性表出,如果 1, 2, , s 线性相关, 由定义知存在 不全为零的常数k1, k2, , ks使得,不妨设 k i 0, 于是,k11 + k22 + + kss = 0,即 i 可由1, , i-1 ,i+1, , s线性表出,25, 如果 j可由1, , j-1 ,j+1, , s 线性表出,那么,lj = - 1 ,向量组1, 2, , s线性相关,线性相关的向量组中未必每个向量均可由其余 s-1个向量线性表出,j = l11 +.+ lj-1j-1 + lj+1j+1 + ls
9、s,l11 +.+ lj-1j-1 - j + lj+1j+1 + lss = 0,1 = 1,0,0T 2 = 0,1,0T 3 =0,0,0T 1 不能由 2, 3 线性表示,26,推论2.2.4,向量组,线性无关的充分必要条件是它的每一个 向量都不能由其余s-1个向量线性表出,定理2.2.5,若向量组,线性无关,而向量组,线性相关, 则向量,可由向量组,线性表出,且表示法唯一,27,若向量组1, 2, , s中有一部分向量 线性相关,则该向量组线性相关,不妨设1, 2, , r 线性相关 (r s),于是有不全为零的数 k1, k2, , kr 使,取 kr+1 = = ks = 0,
10、从而有,这就证明了1, 2, , s 线性相关,例13,证,k11 + k22 + + krr = 0,k11 + k22 + krr + 0r+1 + 0s = 0,反之未必,28,若向量组1, 2, , s线性无关,则其任一部分 向量组都是线性无关,反之未必, 可总结如下结论 部分相关整体相关 整体无关部分无关 整体相关部分相关 部分无关 整体无关,29,向量组1, 2, m线性相关还是线性无关, 通常 是指 m2 的情况, 但也适用于 m=1的情形. 我们先就 m=1, m=2,m=3的情形作一些讨论,当m=1时, 向量组只有一个向量. 若=0, 则 对任一非零常数k均有 k=0; 若
11、0, 则仅 当 k=0 时才有 k=0. 由定义可知 当 =0 时, 则是线性相关的; 当 0 时, 则是线性无关的,四、特殊向量组的几何意义,30,当m=2时, 向量组有两个向量,如果这两个向量线性相关，则有不全为零的数 k1, k2 使得 k1 + k2 = 0,如果 k10，则有,如果 k20，则有,因而两个向量线性相关则它们的对应分量成比例， 反过来也一样成立, = a1,a2,anT, = b1,b2,bnT,31,一个向量线性相关的几何意义是它是坐标系原点 二个向量线性相关的几何意义是二向量共线 三个向量线性相关的几何意义是三向量共面,若向量组,线性相关, 则必有一个向量可由其余2个向量线性表出,当m=3时,