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1、第二节 多维随机变量 及其分布(1),一、n 维随机变量及其分布函数,第二章,三、二维连续型随机变量,二、二维离散型随机变量,四、两个常用的分布,五、内容小结,1. n 维随机向量,设随机试验E的样本空间为，,X= (X1 , X2 , ，Xn),为n 维随机变量，亦称n 维随机向量.,称它们构成的向量,是定义在上的n 个随机变量，,一、n 维随机变量及其分布,定义,X1, X2, ,Xn,图示,二维随机变量,定义,2. n 维随机向量的分布函数,定义,设 X=( X1 , X2 , ，Xn )是n 维随机向量，x1 ，x2 , , xn 是n个任意实数，函数,称为随机向量( X1 , X2
2、, ，Xn ) 的分布函数或联合分布函数. 其中,注,1,当n=2时，二维分布函数 F(x, y)表示随机点 (X ,Y)落在平面区域,内的概率.,x,y,O,D,实例1 炮弹的弹着点的位置 (X,Y) 就是一个二维随机变量.,二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.,实例2 考查某一地 区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量(H,W).,说明,3. 二维分布函数 F(x, y)的性质,(1),(2),证明,可以证明：,一个函数若具有上述性质, 则此函数一定是某二维随机向量的分布函数.,二、二 维离散
3、型随机变量,1.定义,若二维随机变量 (X ,Y ),其分量 X，Y均是离散型随机变量，则称 (X,Y ) 为二维离散型随机变量，且称其分布为离散型分布.,2. 分布律,X,Y,其中,例1,解,X,Y,1,2,1,2,注. 若为有放回摸取，则,X,Y,1,2,1,2,下面求分布函数:,所以( X ,Y ) 的分布函数为,说明,离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为,1.定义2.5,三、二维连续型随机变量,2.性质,非常重要！,表示介于 p(x, y)和 xOy 平面之间的空间区域的全部体积等于1.,3.说明,例2,解,(1) 由分布密度的规范性，得,(2),(3),1,o,x,y,
4、D,1.均匀分布,定义 设 D 是平面上的有界区域,其面积为 S,若二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度,则称( X , Y )在 D 上服从 均匀分布.,四、两个常用的分布,已知随机变量 ( X , Y ) 在 D上服从均匀分布, 试求( X , Y )的分布密度,其中D为x 轴,y 轴及直线 y = x+1 所围成的三角形区域 .,解,例3,D,2.二维正态分布,若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度,二维正态分布的图形,1. 二维随机变量的分布函数,2. 二维离散型随机变量的分布律及分布函数,3. 二维连续型随机变量的概率密度,五、内容小结,解,备份题 例2-1,例2-2,解,已知随机变量 ( X , Y ) 在 D上服从均匀分布, 试求( X , Y )的分布密度及分布函数,其中D为x 轴, y 轴及直线 y = x+1 所围成的三角形区域 .,解,例3,D,x,y,D1,梯形面积,x,y,D3,所以 (X , Y) 的分布函数为,(2) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标,即有,