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1、2.2 连续型随机变量及其概率分布,一.连续型随机变量及其概率密度,二.三种常用的连续型随机变量,均匀分布、指数分布、正态分布,1,一、连续型随机变量及其概率密度,定义,集上的可积函数,函数，,简称为概率密度.,有,且对于任意的实数a, b(a b), a也可为, b也可为+,(1),(2),如果存在一个定义在实数,(3),2,(1),(2),易见概率密度具有下列性质：,注1：,上述性质有明显的几何意义.,反之，,可证一个函数若满足上述性质，,则该函数,一定可以作为某一连续型随机变量的概率密度函,数.,3,注2.,连续型随机变量,取任一指定值 的,故对连续型随机变量,有,概率为0.,4,设随机
2、变量X具有概率密度, 确定常数k； (2) 求P1X7/2.,例1,5,6,7,二. 三种常用的连续型随机变量,1. 均匀分布,定义,其它,易见，,记为,8,注：,是相同的，,且与子区间的长度成正比.,事实上，,子区间,任取,9,例2,某公共汽车站从上午 7 时起,每 15 分钟来一,班车,即 7:00, 7:15, 7:30, 7:45 等时刻有汽车到达,此站,如果乘客到达此站时间,是 7:00 到 7:30 之,间的均匀随机变量,试求他候车时间少于 5 分钟的,概率.,解,以 7:00 为起点 0,以分为单位,依题意,10,乘客必须在 7:10 到,7:15 之间,或在 7:25 到 7:
3、30 之间到达车站,故所,求概率为,即乘客候车时间少于5分钟的概率是 1/3.,11,定义,其中,简记为,易见，,的几何图形如图.,2. 指数分布,12,注：,指数分布常用来描述对某一事件发生的等待,时间，,例如，,乘客在公交车站等车的时间，,电子元件的寿命等，,有,因而它在可靠性理论和,排队论中有广泛的应用.,即对任意,13,它总共能使用至少 小时的条件,已知元件,概率与从开始使用时算起,率相等，,一性质是指数分布具有广泛应用的重要原因.,它至少能使用 小时的概,具有这,14,例3,已知其参数,求 3 个这样的元件使用 1000 小时,至,少已有一个损坏的概率.,解,由题设知,的概率密度函数
4、为,由此得到,15,16,各元件的寿命是否超过 1000 小时是独立的,用,表示三个元件中使用 1000 小时损坏的元件数,则,所求概率为,3. 正态分布,定义,记为,17,注：,正态分布是概率论中最重要的连续型分布，,在十九世纪前叶由高斯加以推广，,故又常称为高,斯分布.,一般来说，,一个随机变量如果受到许多随机因素,的影响，,而其中每一个因素都不起主导作用，,则它服从正态分布.,例如，,产品的质量指标，,元,件的尺寸，,某地区成年男子的身高、体重，,测量,误差，,射击目标的水平或垂直偏差，,信号噪声，,农作物的产量等等都服从或近似服从正态分布.,正态分布的图形特征,18,1.,密度曲线关于,对称；,2.,曲线当,时达到最大值,3.,曲线在,处有拐点且以,19,标准正态分布,此时，,20,作业,习题二 2.4; 2.7; 2.11; 2.12; 2.16,21,