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1、第二章,随机变量及其分布,第一节,随机事件的数量描述,一、随机变量概念的产生,在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.,1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.,例如，掷一颗骰子面上出现的点数；,七月份福州的最高温度；,每天从福州下火车的人数；,昆虫的产卵数；,2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.,正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.,这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.,w.,X(w),R,这种实值函数与在高等数学中大家接触到
2、的函数一样吗？,（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值.,（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.,称这种定义在样本空间上的实值函数为随机变量,简记为 r.v.,二.随机变量,而表示随机变量所取的值 时,一般采用小写字母x,y,z等.,随机变量通常用大写字母 X,Y,Z或希腊字母,等表示,例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高.,我们可以把可能的 身高看作随机变量X,然后我们可以提出关于X的各种问题.,如 P(X1.7)=？ P(X1.5)=?,P(1.5X1.7)=
3、?,三、随机变量的分类,通常分为两类：,如“取到次品的个数”， “收到的呼叫数”等.,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,所有取值可以逐个 一一列举,例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.,全部可能取值不仅 无穷多，而且还不能 一一列举，而是充满 一个区间.,这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点.,学习时请注意它们各自的特点和描述方法.,四.分布函数定义：,问： 在上 式中，X, x 皆为变量. 二者有什 么区别？ x 起什么作用？ F(x) 是不是概率？,X是随机变量, x是参变量.,F(x) 是r.v X
4、取值不大于 x 的概率.,由定义，对任意实数 x1x2，随机点落 在区间（ x1 , x2 的概率为：,P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1),因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它的统计特性就可以得到全面的描述.,已知X的分布函数为 F(x)，下列各事件概率用F(x) 如何表示？,1-F(x),F(x2)-F(x1),P(Xx) P(x1X=x2) P(x1Xx2) P(x1=X=x2),F(x)-F(x-0),F(x-0),F(x2-0)-F(x1),F(x2)-F(x1-0),分布函数是一个普通的函数，正是 通过它，我们可以用数学分析的工具来 研究 随机变量.,五、分布函数的性质,如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)-(3)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.,3. F(x+0)=F(x),单调不减,非负有界,右连续,