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1、2.2.2事件的相互独立性,思考与探究,思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三名同学依次无放回地抽取，问：在第一位同学没有中奖的条件下，最后一名去抽的同学中奖的概率会受到影响吗？,设A为事件“第一位同学没有中奖”。,答:事件A的发生会影响事件B发生的概率,思考2：三张奖券有一张可以中奖。现由三名同学依次有放回地抽取，问：最后一名去抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否中奖的影响吗？,设A为事件“第一位同学没有中奖”。,答：事件A的发生不会影响事件B发生的概率。,1.相互独立的概念,（1）定义法:P(AB)=P(A)P(B),（2）经验判断:A发生与否不影响B发生的概率 B发生与否不影响A发生的
2、概率,3.判断两个事件相互独立的方法,注意:,(1)互斥事件:两个事件不可能同时发生,(2)相互独立事件:两个事件的发生彼此互不影响,2.相互独立的概念2,事件的“互斥”和“相互独立”是两个不同的概念。互斥说的是两个事件不能同时发生；而相互独立则是允许两个事件同时发生，只是其中一个事件的发生与否对另外一个事件发生的可能性不会产生任何影响 在逻辑上，可以将互斥事件理解为一次试验下可能出现的不同基本事件，而将相互独立事件理解为两次或更多次不同试验下相应出现的不同事件。故此，若A 与B 为互斥事件，则应使用概率加法公式来计算A或B发生的概率：P( A + B) = P( A) +P( B)。而若A
3、与B 为相互独立事件，则应使用概率乘法公式来计算A和B同时发生的概率（联合概率）：P( AB) = P( A)P( B),设若两个随机事件A、B相互独立，则说明这两个事件可以同时发生（因为两个事件的发生互不影响），而互斥的两个事件却不能同时发生（亦即一个事件发生了，另个事件就绝对不可能发生），故此两个相互独立的事件通常不可能“互斥”。 反之，设若两个事件互斥，则一个事件的出现必导致另一个事件的不出现，这说明后者出现的概率受到了前者是否出现的影响，从而意味着这两个事件并不相互独立。 当然这只是一般情况，当有概率为零的事件时例外。具体地，当A、B 中至少有一个是不可能事件时，设若事件A 和B 为互
4、斥事件，则事件A 与B一定是相互独立事件；设若事件A 和B 为相互独立事件，则它们一定也是互斥事件。,(1)必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立.,相互独立事件的性质：,即两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。,（2）推广：如果事件A1，A2，An相互独立，那么这 n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积.即：,P(A1A2An)= P(A1)P(A2)P(An),（1）若A、B是相互独立事件，则有P(AB)= P(A)P(B).,相互独立事件同时发生的概率公式,练习1.判断下列事件是否为相互独立事件., 篮球比赛的“罚球两次”中， 事件A：第一次罚球，球进
5、了. 事件B：第二次罚球，球进了.,袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球. 事件A：第一次从中任取一个球是白球. 事件B：第二次从中任取一个球是白球.,袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球. 事件A：第一次从中任取一个球是白球. 事件B：第二次从中任取一个球是白球.,练2、判断下列各对事件的关系 （1）运动员甲射击一次，射中9环与射中8环；,（2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与乙射中8环；,互斥,相互独立,相互独立,相互独立,（4）在一次地理会考中，“甲的成绩合格”与“乙的成绩优秀”,练习3:已知A、B、C相互独立，试用数学符号语言表示下列关系, A、B、C同时发生概率； A
6、、B、C都不发生的概率； A、B、C中恰有一个发生的概率； A、B、C中恰有两个发生的概率； A、B 、C中至少有一个发生的概率；,(1) A发生且B发生且C发生,(2) A不发生且B不发生且C不发生,练习3 :已知A、B、C相互独立，试用数学符号语言表示下列关系, A、B、C同时发生概率； A、B、C都不发生的概率； A、B、C中恰有一个发生的概率； A、B、C中恰有两个发生的概率； A、B 、C中至少有一个发生的概率；,例题举例,例1、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券,抽到某一指定号码为中奖。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次
7、兑奖活动的中奖概率都为0.05，求两次抽奖中以下事件的概率： （1）“都抽到某一指定号码”； （2）“恰有一次抽到某一指定号码”； （3）“至少有一次抽到某一指定号码”。,例题解析,解: (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A， “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB。,（1）“都抽到某一指定号码”；,由于两次的抽奖结果是互不影响的,因此A和B相互独立.于是由独立性可得,两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=0.050.05=0.0025,例题举例,（2）“恰有一次抽到某一指定号码”；,解: “两次抽奖恰有一次抽
8、到某一指定号码”可以用 表示。由于事件 与 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为：,例题举例,（3）“至少有一次抽到某一指定号码”；,解: “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用 表示。由于事件 与 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为：,另解：(逆向思考)至少有一次抽中的概率为,例2.甲, 乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被击中的概率.,解,设 A= 甲击中敌机 ,B= 乙击中敌机 ,C=敌机被击中 ,依题设,由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以 A与B独立,
9、进而,= 0.8,练习1、若甲以10发8中，乙以10发7中的命中率打靶， 两人各射击一次，则他们都中靶的概率是( ),练习2.某产品的制作需三道工序，设这三道工序出现次品的概率分别是P1,P2,P3。假设三道工序互不影响，则制作出来的产品是正品的概率是 。,D,(1P1) (1P2) (1P3),练习3.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是P1, ，乙解决这个问题的概率是P2，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是多少？,P1 (1P2) +(1P1)P2+P1P2,=P1 + P2 P1P2,练习4: 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老二为0
10、.45,老三为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？,略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为,所以，合三个臭皮匠之力把握就大过诸葛亮.,不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.,如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件,P(AB)=P(A)+P(B),P（AB）= P(A)P(B),互斥事件A、B中有一个发生，,相互独立事件A、B同时发生,计算 公式,符号,概念,小结反思,记作:AB(或A+B),记作:AB,2.2.3独立重复试验与二项分布,复习引入,共同特点是: 多次重复地做同一个试
11、验.,分析下面的试验，它们有什么共同特点？ 投掷一个骰子投掷5次; 某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击10次; 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）; 一个盒子中装有5个球（3个红球和2个黑球），有放回地依次从中抽取5个球; 生产一种零件，出现次品的概率是0.04,生产这种零件4件.,1.独立重复试验定义： 一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验,（1）每次试验是在同样条件下进行； （2）每次试验都只有两种结果:发生与不发生； （3）各次试验中的事件是相互独立的； （4）每次试验,某事件发生的概率是相同的。,
12、注：独立重复试验的基本特征：,基本概念,判断下列试验是不是独立重复试验： 1)依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上;,2)某射击手每次击中目标的概率是0.9，他进行了4 次射击，只命中一次；,3)口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中依次 抽取5个球,恰好抽出4个白球;,4)口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中有放回 的抽取5个球,恰好抽出4个白球,不是,是,不是,是,注：独立重复试验的实际原型是有放回的抽样试验,探究,投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q=1-p.连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是多少？,所以，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向
13、上的概率是,思考？,上面我们利用掷1次图钉，针尖向上的概率为p，求出了连续掷3次图钉，仅出现次1针尖向上的概率。类似地，连续掷3次图钉，出现 次针尖向上的概率是多少？你能发现其中的规律吗？,仔细观察上述等 式，可以发现：,基本概念,2、二项分布：,一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为,此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n,p),并称p为成功概率。,注: （1） 展开式中的第 项.,（其中k = 0，1，2，n ）,例1.某射手每次射击击中目标的概率是0.8. 求这名射手在10次射击中。
14、 （1）恰有8次击中目标的概率； （2）至少有8次击中目标的概率。 （结果保留两个有效数字）,解：设X为击中目标的次数，则XB(10,0.8),(1)在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为,(2)在10次射击中，至少有8次击中目标的概率为,练2. 设一射手平均每射击10次中靶4次，求在五次射击中击中一次，恰在第二次击中，击中两次，第二、三两次击中，至少击中一次的概率,由题设，此射手射击1次，中靶的概率为0.4, n5，k1，应用公式得, 事件“第二次击中”表示第一、三、四、五次击中或击不中都可，它不同于“击中一次”，也不同于“第二次击中，其他各次都不中”，不能用公式它的概率就是0.4,n5，
15、k2，,“第二、三两次击中”表示第一次、第四次及第五次可中可不中，所以概率为0.40.40.16,设“至少击中一次”为事件B，则B包括“击中一次”，“击中两次”，“击中三次”，“击中四次”，“击中五次”，所以概率为,P(B)P(1)P(2)P(3)P(4)P(5) 0.25920.34560.23040.07680.01024 0.92224,1P(0),练2： 设一射手平均每射击10次中靶4次，求在五次射击中击中一次，第二次击中，恰好击中两次，刚好在第二、三两次击中，至少击中一次的概率,求恰好摸5次就停止的概率。,记五次之内（含5次）摸到红球的次数为X， 求随机变量X的分布列。,例2.袋A中
16、装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概,率是 ，从A中有放回的摸球，每次摸出1个，有3次摸到红球就停止。,解：恰好摸5次就停止的概率为,随机变量X的取值为0，1，2， 3,所以随机变量X的分布列为,1.在独立重复试验中，若每次试验结果只有事件A发生或不发生两种可能，则事件A发生的次数服从二项分布；若每次试验结果有多种可能，则可以根据需要适当设定事件A，将其转化为二项分布.,课堂小结,2.二项分布B(n，p)中有两个参数，其中n是独立重复试验的总次数，p是每次试验事件A发生的概率，书写时n在左，p在右.,课堂小结,3.二项分布是来自于独立重复试验的一个概率模型，对于求在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率，就直接利用概率公式求解.,课堂小结,解,注:事件首次发生所需要的试验次数服从几何分布,几何分布,练习:某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9,如果命中了就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数 的分布列.,表示前四次都没射中,小 结,独立重复试验,二项分布,