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1、1,最常见的随机过程或随机模型,2,Brown运动或Wiener过程 二项过程 Poission过程 白噪声过程 自回归过程 移动平均过程 混合自回归移动平均过程 利率期限结构或均值回复模型 ARCH类模型,主要内容,3,1979年Cox、Ross和Rubinstein利用二项过程提出了二叉树期权定价模型，用以构造股票价格运动过程，进行股票期权定价分析。 目前，二叉树模型已被广泛应用于金融资产定价领域，并为直观理解金融资产价格的复杂随机行为提供了最佳认识工具，为金融计算提供了可行的数值方法。,二项过程,4,二项分布是指随机变量满足概率分布 其中，k=1,2, ，0p1,q=p-1。 二项过程实
2、质上是将二项分布作为一个过程来描述金融资产价格变化的。,5,假设股票价格在t时刻为S(t)，当时间变化到t+t时，价格要么以概率p从S上涨到uS(u 1)，要么以概率q下降到dS(d1)；时间为t+2t时有三种可能：u2S、udS、d2S，以此类推，见树型结构,6,显然，在t +t 时刻，股票的期望价格为 E(St+t)=puS+(1-p)dS， 在t +2t 时刻，股票的期望价格为： 在t + nt 时刻，股票的期望价格为：,，,7,引言： Brown运动是用以描述连续时间下金融资产价格运动的，但金融资产价格并不都是随时间而连续变化的，有时会出现跳跃，Poission过程就是经常用以模拟跳跃
3、的一类随机过程。,Poission过程,8,计数过程： 如果用t表示0,t内随机事件发生的总数，则随机过程t t0称为计数过程，且满足： (a) t 0； (b) t是整数值； (c) 对于任意两个时刻0 st,有st； (d) 对于任意两个时刻0 st, t -s等于在区间 中发生的事件的个数。,9,若在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称计数过程有独立增量。 若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程有平稳增量。 显然，t为一个正整数，0=0；对于任意的时刻0 st, 有s t, t =t s表示s到t时间段内出现的事件数目。,10,设随机过程t
4、t0是独立增量过程，如果满足 (a) 0=0; (b) t t0是独立增量过程（t=t s）； (c) 对任一长度为t的区间中事件的个数服从均值为(ts)的Poission分布，即对一切s t0 ，有 则称t t0为参数为(ts)的Poission过程。 直接计算可知，Et =Vt =t，即，所以表示单位时间内事件出现的平均次数，因而也常被称为发生率或强度。,定义9 泊松过程,11,随机过程tt0称为白噪声过程，若Et=0，且 显然，白噪声过程一个平稳的纯粹随机过程，在金融研究中主要用于模型无法解释的波动。,白噪声过程,12,按时间次序排列的随机过程t( t=1，2，)称为时间序列。 若时间序
5、列是相互独立的，则说明事件后一刻的行为与前一刻毫无关系，即系统无记忆性。 若情况相反，则前后时刻事件之间就有一定的依存性。其中最简单的关系就是事件后一刻的行为只与前一刻的行为有关，而与其前一刻以前的行为无直接联系，即t主要与t -1相关。从记忆的角度理解，是最短的记忆，即一期记忆，描述这种关系的模型称为一阶自回归过程，记为AR（1），即 t=at-1+ t，t=1,2, ， 其中，a为常数，t为白噪声过程，称为扰动项。当|a|1为非平稳过程。,自回归过程,13,更一般地，m阶自回归过程t ( t=1，2，), 记为AR（m）, 满足： t =a1t -1+ a2t -2+amt -m+t t=
6、1，2， m阶自回归过程具有m期记忆或者说m阶动态性。若滞后算子多项式1a1z-amzm=0的根在单位圆之外时，为平稳过程。否则，就是非平稳的。,14,自回归过程表示在t时刻的事件t 只与其以前的响应t -1，t -2，t -m 有关，而与以前时刻的扰动无关。若时间序列t 与其以前的冲击或扰动t -1，t -2，t -n有关，而与以前时刻的响应无关，那就是n阶移动平均过程，记为MA(n),即 t = b0+t +b1t -1+ b2t -2+ bnt n t=1，2， 当|bj|1表示冲击将放大，其中i=1，2，,n。,移动平均过程,15,若时间序列t 在t时刻，不仅与其以前的自身值有关，而且
7、与以前时刻的冲击或扰动存在着一定的依存关系，则称为混合自回归移动平均过程，其一般形式（记作ARMA(m，n)）为 t =a1t -1+ a2t -2+ amt -m+t +b1t -1+ b2t -2+ bn t n,混合自回归移动平均过程,16,在金融市场中，许多情况下的金融资产价格的变化，随着时间的推移常常趋于某个长期平均水平，称为均值回复现象，例如利率的变化就常常如此。具体的利率期限结构或均值回复模型定义为 其中0，服从标准正态分布。当股票价格S低于均值时，-S取正值，即S具有正的漂移率，dS将会变为正值。反之，当股票价格S高于均值时，-S取负值，即S具有负的漂移率，dS将会变为负值。尽
8、管变化过程中价格可能会偏离均值 ，但长期来看S都会向均值靠近。过程中偏离的程度由参数0决定的。注意：资产价格表现出来的某种长期可预测性，与市场有效性的假定是不符合的。,利率期限结构或均值回复模型,17,事实上，现实中的金融资产的收益变化和分布主要呈现出以下基本特征： 金融资产的收益变化和分布表现出明显的非线性特点； 与正态分布相比，金融资产的收益分布的尾部通常较厚，方差小的变量绝大多数集中在均值附近，而方差大的变量则多集中于分布的尾部； 收益的波动性有时很大，有时却很小，而且有关波动性的冲击常常要持续一段时间才会消失，即同时呈现出集聚性和持久性，这表明资产收益序列具有条件异方差的特性； 金融资
9、产收益呈现出明显的自相关性； 金融市场尤其是股票市场，价格运动与波动性是常为负相关的，也就是负的回报要比正的回报导致更大的条件方差，即具有非对称的杠杆效应。,ARCH类模型,18,传统的随机过程和模型对金融资产收益的模拟和描述主要是线性的，不能很好处理上述特征，因而也常常无法准确估计和预测金融资产的收益及其波动性。 ARCH类模型一般由条件均值方程和条件方差方程两个方程组成。但由于此类方程主要用于估计波动性和相关性，所以重点在条件方差方程，而条件均值方程常常比较简单. rt=+t 其中为由样本均值估计的无条件均值，扰动项t表示非预期收益的平均偏差。扰动项t常被假设为正态分布、t分布、混合正态分布和广义误差分布等，对应的模型就称为正态GARCH模型、t分布GARCH模型、混合正态分布GARCH模型和广义误差分布GARCH模型。,