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1、3.6 线性方程组解的结构,一、齐次线性方程组解的结构,1解的性质,性质1 (1)的两个解的和还是(1) 的解;,性质2 (1)的一个解的倍数还是(1)的解;,性质3 (1)的解的任一线性组合还是(1)的解,2 基础解系,定义 齐次线性方程组(1)的一组解1,2,r，若满足,1) 1,2,r线性无关；,2) 齐次线性方程组(1)的任意一解都可由1,2,r线性表出；,则称1,2,r为齐次线性方程组(1) 的一个基础解系；,4 基础解系存在性,定理 在齐次线性方程组(1)有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于nr, 其中r 为方程组系数矩阵的秩。,证：若r=n, 方程组只
2、有零解，不存在基础解系,若R(A) =rn，不妨设,则(1)可写成,我们知道自由未知量的任意一组值都确定了方程组(1)的一个解。,用组数 (1,0,0), (0,1,0),(0,0,0)来代替自由未知量(xr+1,xn), 就得到(2)的解，也就是(1)的nr个解:,要证明(3)是(1)的基础解系，需证, 1,2,n-r线性无关,令k11+ k22+kn-rn-r=0, 则k11+ k22 +kn-rn-r=(*,*,k1, k2,kn-r)=0，从而k1=k2=kn-r=0, 所以1,2,n-r线性无关。, 任取(1)的一个解,可由1,2,n-r线性表出,由于1,2,n-r是(1)的解,所以
3、线性组合cr+11 + cr+22 + +cnn-r也为(1)的解，比较二者的后n r个分量可知，自由未知量相同，故二者是同一个解，即是,设 =(c1,c2,cn)是(1)的任意一个解, = cr+11 + cr+22 + +cnn-r,由 ， 为(1)的一个基础解系,例1 求齐次线性方程组,的基础解系,推论 任一线性无关的与(1)的某一基础解系等价的向量组都是(1)的基础解系,二、一般线性方程组解的结构,如果b1= b2= bs=0, 则得到方程组(1)，,称齐次方程组(1)为方程组(4)的导出组。,性质1 线性方程组(4)的任意两个解的差为其导出组(1)的解,性质2 线性方程组(4)的任意一个解与导出组(1)的任意一个解之和是线性方程组(4)的解., 解的结构,定理 若0为(4)的一个特解，则方程组(4)的任一解皆可表成 = 0+ ,其中为其导出组(1)的一个解,从而, 方程组(4)的一般解为 = 0+k11 + k22 +knrn r 其中0为(4) 的一个特解，1,2,n r 为导出组的一个基础解系,推论 方程组(4)在有解的条件下,有唯一解(4)的导出组(1)只有零解, 求一般线性方程组(4)的一般解,步骤：,1）求出其导出组的基础解系 1,2,nr,2）求出(4)的一个特解0；,3）写出(4)的一般解为 = 0+k11 + k22 +knrn r,例 求解方程组,